Bewijs dat wortel van 20 irrationaal is

Algemene info over deze site. Suggesties e.d. kunnen hier ook geplaatst worden.

Bewijs dat wortel van 20 irrationaal is

Berichtdoor pompoen » 23 Jul 2015, 14:56

Hoi forum,

Ik begrijp dat 16 < 20 < 25, maar ik wilde een langere andere bewijs lezen.

Hier is een deel van verklaring uit mijn boek en mijn vragen zijn in paars:

Bewijs uit het ongerijmde:

Stel dat √20 rationaal was. Dan zou je die wortel kunnen schrijven als een breuk p/q waarin p en q positieve gehele getallen zijn met ggd(p,q)=1. Uit √20=p/q volgt 20q^2=p^2 ofwel 2x2x5xq^2=p^2. Het linkerlid is deelbaar door 5, dus het rechterlid ook. In de priemontbinding van p moet dan minstens één priemfactor 5 zitten, en in de priemontbinding van p^2 zitten dus minstens twee...


De rest van de verklaring begrijp ik wel, maar:

1) Waarom gebruiken we 5 uit de priemontbinding en niet 2x2? Zou het bewijs ook werken met 2x2 of 2?

2) Hoe weten we dat p heeft minstens een priemfactor 5 gewon uit dit: 2x2x5xq^2=p^2. Ik bedoel, ik zou eerst zien dat p^2 heeft een factor 5, en dan dus p, maar in mijn boek staat het andersom.
Kan ik deze conclusie ook andersom bereiken? (Ik hoop dat dit vraag "makes sense")


Sorry als mijn vragen zijn te "common sense" voor jullie.
Sorry voor mijn Nederlands. Ik ben het aan het leren! :)
Gebruikers-avatar
pompoen
Nieuw lid
Nieuw lid
 
Berichten: 13
Geregistreerd: 11 Sep 2014, 14:21

Re: Bewijs dat wortel van 20 irrationaal is

Berichtdoor SafeX » 23 Jul 2015, 17:02

Het is al niet erg zinvol om sqrt(20) te bekijken, immers sqrt(20)=2*sqrt(5) en dus gaat het om sqrt(5) ...
SafeX
Moderator
Moderator
 
Berichten: 14198
Geregistreerd: 29 Dec 2005, 11:53

Re: Bewijs dat wortel van 20 irrationaal is

Berichtdoor pompoen » 23 Jul 2015, 18:45

Thanks,I didn't realize that.

My question is why do we pick 5 out of all the factors, why doesn't it work with 2?
Sorry voor mijn Nederlands. Ik ben het aan het leren! :)
Gebruikers-avatar
pompoen
Nieuw lid
Nieuw lid
 
Berichten: 13
Geregistreerd: 11 Sep 2014, 14:21

Re: Bewijs dat wortel van 20 irrationaal is

Berichtdoor SafeX » 23 Jul 2015, 20:46

But only sqrt(5) makes sense ... , 2 is clearly rational!
SafeX
Moderator
Moderator
 
Berichten: 14198
Geregistreerd: 29 Dec 2005, 11:53

Re: Bewijs dat wortel van 20 irrationaal is

Berichtdoor pompoen » 24 Jul 2015, 07:44

So our objective is to prove that p and q share a common factor in a form of an integer whose sqrt is irrational?

Why wouldn't it work with a rational integer? I mean, if you show that a numerator and a denominator have a common factor other than 1, (doesn't matter if its sqrt is rational or not), doesn't it create a contradiction already? Because the breuk could be further simplified? See what I mean?

Also, isn't sqrt of 2 irrational?

And anything multiplied by irrational number is irrational?
Sorry voor mijn Nederlands. Ik ben het aan het leren! :)
Gebruikers-avatar
pompoen
Nieuw lid
Nieuw lid
 
Berichten: 13
Geregistreerd: 11 Sep 2014, 14:21

Re: Bewijs dat wortel van 20 irrationaal is

Berichtdoor arno » 24 Jul 2015, 11:37

Stel a is een geheel getal, dan kan a² alleen 1, a en a² als deler hebben. Ga nu na dar a² = 5 voor een geheel getal a niet mogelijk is.
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel
arno
Vergevorderde
Vergevorderde
 
Berichten: 1765
Geregistreerd: 25 Dec 2008, 16:28

Re: Bewijs dat wortel van 20 irrationaal is

Berichtdoor SafeX » 24 Jul 2015, 12:22

pompoen schreef:And anything multiplied by irrational number is irrational?


No, sqrt(2)*sqrt(2) is rational!

Why wouldn't it work with a rational integer? I mean, if you show that a numerator and a denominator have a common factor other than 1, (doesn't matter if its sqrt is rational or not), doesn't it create a contradiction already? Because the breuk could be further simplified? See what I mean?


Try to show that sqrt(4) is rational ...

Also, isn't sqrt of 2 irrational?


Yes, prove sqrt(2) is irrational ...
SafeX
Moderator
Moderator
 
Berichten: 14198
Geregistreerd: 29 Dec 2005, 11:53

Re: Bewijs dat wortel van 20 irrationaal is

Berichtdoor pompoen » 24 Jul 2015, 12:44

arno schreef:Stel a is een geheel getal, dan kan a² alleen 1, a en a² als deler hebben. Ga nu na dar a² = 5 voor een geheel getal a niet mogelijk is.


Dank je, dat begrijp ik. :) Ik wilde alleen de uitwerking van hoe we bepalen of een wortel rationaal of irrationaal is zien.
Sorry voor mijn Nederlands. Ik ben het aan het leren! :)
Gebruikers-avatar
pompoen
Nieuw lid
Nieuw lid
 
Berichten: 13
Geregistreerd: 11 Sep 2014, 14:21

Re: Bewijs dat wortel van 20 irrationaal is

Berichtdoor pompoen » 24 Jul 2015, 13:24

SafeX schreef:
pompoen schreef:And anything multiplied by irrational number is irrational?


No, sqrt(2)*sqrt(2) is rational!


Ok, dank je. Ik vraag alleen omdat ik verschillende boeken/resources gebruik en ik heb gelezen dat "rational times irrational is irrational". Oh, and I guess I mismemorized "rational" as any number. Nevermind.


SafeX schreef:
Why wouldn't it work with a rational integer? I mean, if you show that a numerator and a denominator have a common factor other than 1, (doesn't matter if its sqrt is rational or not), doesn't it create a contradiction already? Because the breuk could be further simplified? See what I mean?


Try to show that sqrt(4) is rational ...


Ik begrijp dat sqrt van 4 is een integer, daarom is het rational. Maar dat was niet mijn vraag.
]

SafeX schreef:Yes, prove sqrt(2) is irrational ...


Umm, are you asking me to prove that sqrt of 2 is irrational? i guess you're imply that in working this one out I'll stumble upon an answer for my original question? Ok.(I'll do it in English since it's easier for me, hope it's ok.)

Let's assume the opposite. Let's assume sqrt(2) is rational. Than we can write it as a ratio:

sqrt(2)=a/b And we can also assume that a/b is irreducible (i.e. have no factors in common except for 1).

2=a^2/b^2
2b^2=a^2 --> that means a^2 (or axa) is even, meaning a is also even, because evenxeven=even.

If a is even it can be represented as 2 times some integer. a=2c.

2b^2=(2c)^2=4c^2
b^2=2c^2

c is an integer and any integer x2 is even. that means that b^2 is even, and then b is even (since, again evenxeven=even).

We assumed in the beginning that a and b are irreducible, but apparently they're not, if they're both even. They have a common factor 2. So that's a contradiction and sqrt(2) is not rational.

But I was wondering about the steps of working it out with a sqrt of a bigger number. Like, we factorize a number in the root and then use a factor that's irrational? But only if the factor is not cancelled/turned rational by another number, like in the case of sqrt(20)=(2x2x5), where sqrt(2x2) is rational so we ignore the twos and just use five? But if it were sqrt(2x5), could we use sqrt(2) then?


Also, if you had been snide, there was really no point in it. I'm obviously a noob and I'm just asking questions.
Sorry voor mijn Nederlands. Ik ben het aan het leren! :)
Gebruikers-avatar
pompoen
Nieuw lid
Nieuw lid
 
Berichten: 13
Geregistreerd: 11 Sep 2014, 14:21

Re: Bewijs dat wortel van 20 irrationaal is

Berichtdoor David » 25 Jul 2015, 10:37

arno schreef:Stel a is een geheel getal, dan kan a² alleen 1, a en a² als deler hebben.
Nee, a = 4. Wat je zegt geldt voor a is priem (of 1).
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)
David
Moderator
Moderator
 
Berichten: 4935
Geregistreerd: 14 Mei 2009, 16:22

Re: Bewijs dat wortel van 20 irrationaal is

Berichtdoor arno » 25 Jul 2015, 11:59

David schreef:
arno schreef:Stel a is een geheel getal, dan kan a² alleen 1, a en a² als deler hebben.
Nee, a = 4. Wat je zegt geldt voor a is priem (of 1).

Je hebt gelijk, a moet inderdaad priem zijn. We kunnen a = 1 buiten beschouwing laten omdat we 1, a en a² als afzonderlijke getallen beschouwen.
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel
arno
Vergevorderde
Vergevorderde
 
Berichten: 1765
Geregistreerd: 25 Dec 2008, 16:28

Re: Bewijs dat wortel van 20 irrationaal is

Berichtdoor David » 25 Jul 2015, 19:27

arno schreef:We kunnen a = 1 buiten beschouwing laten omdat we 1, a en a² als afzonderlijke getallen beschouwen.
Bedoel je "omdat we a zo kiezen dat 1, a en a² ongelijk zijn aan elkaar"? Ik zie niet waarom je dat zou doen en als je wat anders bedoelt, wat je dan bedoelt.
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)
David
Moderator
Moderator
 
Berichten: 4935
Geregistreerd: 14 Mei 2009, 16:22

Re: Bewijs dat wortel van 20 irrationaal is

Berichtdoor David » 25 Jul 2015, 21:08

pompoen schreef:But I was wondering about the steps of working it out with a sqrt of a bigger number.
Say, you want to test if sqrt(n) is rational. Then consider the prime factorization of n (*). Iff all of its exponents are even then the principal square root is rational i.e. iff (at least) one of its exponents is odd then the principal square root of n is irrational. You can prove this result by similar reasoning to your work in proving irrationality of sqrt(2).

(*) Positive integer n. If n is a negative integer, it's (principal) square root is undefined. If n is zero, as it doesn't have a prime factorization, use 'inspection' (sqrt(0) = 0 which is rational).
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)
David
Moderator
Moderator
 
Berichten: 4935
Geregistreerd: 14 Mei 2009, 16:22

Re: Bewijs dat wortel van 20 irrationaal is

Berichtdoor arno » 27 Jul 2015, 13:09

David schreef:
arno schreef:We kunnen a = 1 buiten beschouwing laten omdat we 1, a en a² als afzonderlijke getallen beschouwen.
Bedoel je "omdat we a zo kiezen dat 1, a en a² ongelijk zijn aan elkaar"? Ik zie niet waarom je dat zou doen en als je wat anders bedoelt, wat je dan bedoelt.

Als a 1 is zijn de 3 delers gelijk aan elkaar. Het ging er mij om dat a² alleen maar 1, a en a² als deler kan hebben, als a een priemgetal is.
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel
arno
Vergevorderde
Vergevorderde
 
Berichten: 1765
Geregistreerd: 25 Dec 2008, 16:28


Terug naar Algemeen

Wie is er online?

Gebruikers in dit forum: Geen geregistreerde gebruikers en 1 gast

cron

Wie is er online?

Er is in totaal 1 gebruiker online :: 0 geregistreerd, 0 verborgen en 1 gast (Gebaseerd op de gebruikers die actief waren gedurende 5 minuten)
De meeste gebruikers ooit tegelijkertijd online was 649 op 31 Okt 2014, 18:45

Gebruikers in dit forum: Geen geregistreerde gebruikers en 1 gast
Copyright © 2009 Afterburner - Free GPL Template. All Rights Reserved.