wanneer een getal even is deel het door 2
wanneer een getal oneven is vermenigvuldig het door 3 en tel er 1 bij op
Bijvoorbeeld
ieder even getal zal uiteindelijk omgevormd worden tot een oneven getal dus. In een eerste vereenvoudigde versie van de colatzformatie (als het een transformatie is???) zullen we de even getallen weg laten.
bijvoorbeeld:
Als een tweede vereenvoudiging zullen we de oneven getallen indexeren door een index (i). Dit wil zeggen 1 schrijven we als 0, 3 als 1, 5 als 2 ect
ter verduidelijking onderstaande tabel:
Code: Selecteer alles
0 ( 1) 1 ( 3) 2 ( 5) 3 ( 7)
4 ( 9) 5 (11) 6 (13) 7 (15)
8 (17) 9 (19) 10 (21) 11 (23)
12 (25) 13 (27) 14 (29) 15 (31)
vanaf hier werk ik enkel nog met indexen.
laat ons een kijken of we patronen kunnen herkennen in de geindexeerde collatz map. onderstaande tabel geeft ons een index gevolgd door de index die resulteert uit de collatztransformatie
ter verduidelijking onderstaande tabel:
Code: Selecteer alles
kolom A | kolom B | kolom C | kolom D
0 -> 0 | 1 -> 2 | 2 -> 0 | 3 -> 5
4 -> 3 | 5 -> 8 | 6 -> 2 | 7 -> 11
8 -> 6 | 9 -> 14 | 10 -> 0 | 11 -> 17
12 -> 9 | 13 -> 20 | 14 -> 5 | 15 -> 23
16 -> 12 | 17 -> 26 | 18 -> 3 | 19 -> 29
20 -> 15 | 21 -> 32 | 22 -> 8 | 23 -> 35
24 -> 18 | 25 -> 38 | 26 -> 2 | 27 -> 41
28 -> 21 | 29 -> 44 | 30 -> 11 | 31 -> 47
32 -> 24 | 33 -> 50 | 34 -> 6 | 35 -> 53
in kolom kolomen A, B en D kunnen we een duidelijk patroon zien. Op het eerste zicht gedraagt kolom C zich echter vrij chaotish. (we zullen dadelijk aantonen dat deze chaos met een simpele bewerking te weg valt).
Voor kolom A kunnen we scrijven
Voor kolom B en D geld
Laten we nu ff kolom C wat ordelijker maken:
2 (op de nulde rij van kolom C) geeft als resultaat 0, de index 0 geeft ook als resultaat 0.
6 (op de eerste rij van kolom C) geeft als resultaat 2, de index 1 geeft ook als resultaat 2.
10 (op de tweede rij van kolom C) geeft als resultaat 0, de index 2 geeft ook als resultaat 0.
16 (op de derde rij van kolom C) geeft als resultaat 5, de index 3 geeft ook als resultaat 5.
... en zo kunnen we nog even doorgaan (dit heb ik nog niet bewezen, maar voor de eerste 200 rijen klopt dit resultaat)
we kunnen kolom C ordelijker maken door een "virtuele tussenstap te introduceren" in plaats van naar het directe resultaat te gaan (hetgeen chaotisch lijkt), kunnen we een ordelijkere weg volgen via een tussenstap. deze tussenstap zal ons vriendelijk en ordelijk naar het uiteindelijk resultaat lijden (zonder we de indruk hebben dat er iets willekeurig gebeurt).
Voor kolom C kunnen we scrijven
we herscrijven onze tabel dan als volgt
Code: Selecteer alles
kolom A | kolom B | kolom C | kolom D
0 -> 0 | 1 -> 2 | 2 -> 0 | 3 -> 5
4 -> 3 | 5 -> 8 | 6 -> 1 | 7 -> 11
8 -> 6 | 9 -> 14 | 10 -> 2 | 11 -> 17
12 -> 9 | 13 -> 20 | 14 -> 3 | 15 -> 23
16 -> 12 | 17 -> 26 | 18 -> 4 | 19 -> 29
20 -> 15 | 21 -> 32 | 22 -> 5 | 23 -> 35
24 -> 18 | 25 -> 38 | 26 -> 6 | 27 -> 41
28 -> 21 | 29 -> 44 | 30 -> 7 | 31 -> 47
32 -> 24 | 33 -> 50 | 34 -> 8 | 35 -> 53
We stellen nu dat er 4 verzamelingen zijn: A B C D, met respectievelijk de indexen uit kollomen A,B,C,D (dit kan formeler geschreven worden maar ik wil het hier zo kort mogelijk houden.)
een element van D kan enkel naar D of naar B "springen"
een element van C kan naar A B C of D "springen"
een element van B kan naar A of C "springen"
een element van A kan naar A B C of D "springen"
(ik gebruik hier "springen" omdat ik niet weet of ik "getransformeerd" in deze context kan gebruiken)
we kunnen onze vertrouwde tabel dan nog eens herschrijven, deze keer met de index, en de doelverzameling.
Code: Selecteer alles
kolom A | kolom B | kolom C | kolom D
0 -> A | 1 -> C | 2 -> A | 3 -> B
4 -> D | 5 -> A | 6 -> B | 7 -> D
8 -> C | 9 -> C | 10 -> C | 11 -> B
12 -> B | 13 -> A | 14 -> D | 15 -> D
16 -> A | 17 -> C | 18 -> A | 19 -> B
20 -> D | 21 -> A | 22 -> B | 23 -> D
24 -> C | 25 -> C | 26 -> C | 27 -> B
28 -> B | 29 -> A | 30 -> D | 31 -> D
32 -> 24 | 33 -> C | 34 -> A | 35 -> B
we merken op de er zich een herhaaldelijk patroon voordoet. dat zich na 16 indexen herhaalt.
Dit patroon herhaalt zich zo mooi dat we er gebruik van maken in onze volgende stap, de VierkantsRepresentatie.