RM Casio fx-82MS

[David]

maar.... leren ze niet bij §6.4 ze het getal dat ze moeten veranderen tussen haakjes komt - en in de 2e nogmaals met klem wordt benadrukt, ook met wortels en kwadraten etc....

Overal waar een variabele staat in de formule, vervang dat voor 'haakje-openen' & 'de waarde' & 'haakje-sluiten'; Laat de rest gewoon staan

Dat garandeerd dat een berekening als a² daadwerkelijk 36 is en geen −36 voor a=−6 namenlijk je voert op je rekenmachine (−6)² in

dus opnieuw invoeren

(⁻6)÷2(3) = ⁻1

dat is ook het antwoord wat ik eigenlijk altijd had gedacht dat het zou moeten zijn...

Ik weet niet zeker wat u daar invoert, maar als ik dat letterlijk invoer, kom ik uit op -9. Met mijn GR en met wolframalpha: (-6)/2(3) in wolfram

zo mijne heren en dames hoog geleerden - wat moet het zijn en waarom - en waarom is dit niet didactisch gewaarborgd, of doen we gewoon alsof dit probleem niet bestaat ?

Ik hou me altijd vast aan het volgende: De volgorde van bewerkingen is: machtsverheffen, (worteltrekken), vermenigvuldigen en delen, optellen en aftrekken. Als je iets aan die volgorde wilt veranderen, gebruik je haakjes.

Voorbeeld buiten de taak:
2+1*4
Ik wil eerst optellen en dan vermenigvuldigen. Dat wil zeggen dat ik de volgorde wil veranderen. Daarom schrijf ik:
(2+1)*4=3*4=12

In het geval van de taak, (-6)/2(3), geen haakjes om 2 en 3 tesamen,

Dus
(-6)/2(3)=-6/2*(3)=-6/2*3=-3/3=-9

met de iets geavanceerde mogelijkheden met de STO functionaliteit, ook zonder haakjes...
⁻6 => A (-) 6 SHIFT STO A
3 => B 3 SHIFT STO B
A÷2B = ⁻1 ALPHA A ÷ 2 ALPHA B =

Ook daarmee krijg ik in mijn GR -9.

en dat is het gewenste antwoord voor wiskundigen; die zien 2b vanzelfsprekend als één geheel, daar staat voor hen niet 2×b maar meer in de trant van (2∙b)

Misschien is een GR en wolfram (op dit gebied) dan wiskundig ongewenst. Daar wil ik geen uitsluitsel over geven.

[meneer van Hoesel]

Als Wolfram|Alpha 'heilig' is dan ben ik het helaal met hem eens...


en hij met mij!


eerst weer even terug naar de kern van het probleem, het gaat over het 'letter' rekenen in de brugklas en het juist toepassen van de reken regels.

we hadden een opgave met geven:

a = –6 en b = 3

bereken a : 2b.

en dan nu de grote truc in Wolfram|Alpha , want die kan ook letter-rekenen:

Voer in:

a ÷ 2b where a=−6, b=3

• de deling met ÷ wordt door het systeem keurig herkend - mijn persoonlijke voorkeur overigens als het betrekking heeft op een deling anders dan de breuk met een schuine streep
• een schuine streep / mag ook
• de dubbele-punt : fungeert als een 'verhoudings' bewerking en moet dus niet worden gebruikt
• de spatiering is niet alleen cosmetisch, alléén in het bijzondere geval van a/2 b komt er geheel naar verwachting wat anders uit

ben ik even blij dat Wolfram|Alpha en ik dezelfde taal spreken, en kijk ook even naar de interpretatie

het zou toch te gek voor woorden zijn als 'wij' wiskundigen dit ineens zouden intrepeteren als a ⁄ 2 × b of netter maar ook fout ½a × b! Zijn we nou helemaal van de .....

weer wat geleerd over Wolfram|Alpha

NB: mijn TI-nspire CAS doet het ook fout en maakt er −9 van! Maar ja... dat €140 kostende aparaat en al zijn kleinere TI-broertjes snappen sin 30 ook niet.

[Sjoerd Job]

Waar ik mij nu over verbaas is het volgende: De rekenregels zijn toch:

1. Haakjes
2. Machten
3. Keer en gedeeld-door, van links naar rechts
4. Plus en min, van links naar rechts

Volgens die regels geldt voor , als eerste de `delen'-regel: , of heb ik het helemaal fout, en horen de regels te zijn:

1. Haakjes
2. Machten
3. Onzichtbare keer
4. Keer en gedeeld-door, van links naar rechts
5. Plus en min, van links naar rechts

[David]

Voer in:

a ÷ 2b where a=−6, b=3

Dit wordt voor mij verwarrend.
Wolfram rekent nu uit:

Dat is een breuk met teller en noemer. Volgens mij worden dan "stilzwijgend" haakjes om de teller en haakjes om de noemer gezet*. Dan krijg je dus ook:
(-6)/(2(3)).

Als dat zo is, geldt:

Waar ik mij nu over verbaas is het volgende: De rekenregels zijn toch:

1. Haakjes
2. Machten
3. Keer en gedeeld-door, van links naar rechts
4. Plus en min, van links naar rechts

Zo ken ik ze ook en die zou ik gebruiken om de opgave op te lossen op een toets.

* Vergelijk met:

Zo werkt dat toch in zo'n dergelijke breuk??

[arno]

@Sjoerd Job: De prioriteitsvolgorde is Haakjes, Machtsverheffen, Worteltrekken, Vermenigvuldigen, Delen, Optellen en Aftrekken. Ezelsbruggetje: Het Mooie Witte Veulentje Draaft Op en Af, of: Hoe Moeten Wij Van De Onvoldoendes Afkomen.

[meneer van Hoesel]

De reken regels zijn allen wel duidelijk... heb ik zo het idee @sjoerd @david @arno --- allemaal waar...

maar nu gaan we weer even helemaal vergeten waar deze discussie over begon en kijk nog even naar onderstaande voorbeelden en hoe 'iedere wiskundige' dit normaliter interpreteert, nogmaals de discusie en de context vergetende:

voorbeeld 1:
sin 2α met α=15

en iedereen zal met mij beamen dat dit gelezen wordt als de sinus van 30° en is gelijk aan ½; niemand zou het in zijn hoofd halen om de sinus van 2 uit te rekenen en te vermenigvuldigen met 15

goed: sin(2·15) = ½
fout: sin 2 × 15 ≈ 13.64

merk overigens op dat in de eerste situatie vanzelfsprekend graden wordt verondersteld, terwijl sin 2 al snel radialen wordt gekozen

voorbeeld 2:
1 ÷ 2k met k=100

ook hier zal men eerder geneigd zijn om 1 / 200 = 0,005 uit te rekenen dan ½ × 100 = 50

terwijl met het volgende voorbeeld het andersom gaat

voorbeeld 3:
1∕2 k met k=100

Dat lost iedereen vanzelfsprekend op als ½ × 100 = 50

Bij voorbeeld 2 zou het een ander verhaal worden als de schrijfwijze veranderd wordt en er een expliciet vermenigvuldiginsteken word geplaatst:
1 ÷ 2 × k

maar dat staat er niet! we denken hardop "één gedeeld door twee−ka" en niet "één gedeeld door twee, keer ka"

Hoewel dus rekenkundig het laatste geldt, is het in de algebra ongebruikelijk en is schrijfwijze helaas wel bepalend − en gelukkig houdt Wolfram|Alpha daar ook rekening mee. En ja, zoals @Safex als had opgemerkt, we zijn lui, slordig wil ik niet zeggen, we zijn wat flexibeler dan de meeste computers.

[meneer van Hoesel]

Dat is een breuk met teller en noemer. Volgens mij worden dan "stilzwijgend" haakjes om de teller en haakjes om de noemer gezet

Dat is dan ook de reden dat ik verschillende schrijfwijzen gebruik voor een deling - en hoewel rekenkundig niet juist wel heel begrijpelijk voor de lezer...

de ÷ impliceert inderdaad een 'grote deling'; wat links staat, delen door wat rechts staat - en dan laat ik de haakjes meestal weg als het om een 'korte' teller of noemer gaat, maar schrijf die er snel bij zodra het iets langer wordt.
3+b ÷ 2−a is formeel 3 + ½b − a maar bedoel dan, met de impliciet haakjes  (3 + b) ∕ (2 − a)

de ∕ gebruik ik dan meestal voor 'fracties' kleine 'getals matige' breuken die net zo goed als 'decimaal' had kunnen gebruikt
3∕4 a betekent 0.75 × a

zo bedoelen we allemaal met tan 3∕4 π = −1 en niet ¼tan 3 × π

merk ook op dat het symbool ÷ lijkt op een breuk streep met 'iets' er boven en 'iets' er onder en dus die haakjes er omheen moeten waar jij het over had.

en natuurlijk... wil je problemen voorkomen dan zijn haakjes de enige manier om veilig te zijn


Evenzo met vermenigvuldigen, voor mij staan hier twee verschillende zaken: 2 ÷ 3b en 2∕3×b

[Sjoerd Job]

Omtrent de schrijfwijze, het gebruik van ÷ voor links/rechts lange statements, en / voor de smalle binding, deze moet dan wel expliciet gemaakt worden.

Omtrent de leeswijze van 1/2a, ik ben het met je eens dat 1/(2a) natuurlijker is dan (1/2)a, maar als we dit willen, zullen we dit wel moeten vastleggen in de rekenregels. Ook qua functieapplicatie zullen we dat dan moeten doen, willen we sin 2x mogen schrijven. Ik stel dan het volgende lijstje voor:

1. Haakjes
2. Machten
3. Impliciete vermenigvuldiging
4. Functie-applicatie
5. Expliciete vermenigvuldiging, delen
6. Optellen, aftrekken

Merk op dat wortels uiteraard horen bij machten, alhoewel hier geen probleem bij ontstaat, omdat het streepje over de wortel aangeeft over welke uitdrukking het gaat.

[meneer van Hoesel]

Kom ik dit nou net toevallig even tegen:
Trajectboek HAVO/VWO onderbouw blz. 38 bovenaan

[David]

De reken regels zijn allen wel duidelijk... heb ik zo het idee @sjoerd @david @arno --- allemaal waar...

Fijn dat u onze ideeën bevestigd, toch, er is tegenspraak tussen de voorgestelde regels door Sjoerd en mij, en de voorgestelde regels door arno.

Kijk a.u.b. naar het volgende voorbeeld:


Sjoerd en ik zouden als volgt rekenen: (ik in ieder geval)
geen haakjes, geen machten, wel vermenigvuldiging en deling, geen optelling dan wel aftrekking, dus van links naar rechts:


met de regels van arno:
geen haakjes, geen machten, wel vermenigvuldiging en deling, geen optelling dan wel aftrekking:
Eerst vermenigvuldigen, dan delen:


Een berekening met alleen constanten heeft slechts één uitkomst.

Ik denk zelf, dat we het beste kunnen discrimineren tussen een breuk en een deling,
met "breuk" is: teller en noemer die vereenvoudigd door elkaar worden gedeeld, de teller staat boven de noemer geschreven, in de vorm \frac{\text{teller}}{\text{noemer}}
en "deling" is: getal voor de deelstreep wordt gedeeld door het getal na de deelstreep.

Zodat:


Geeft dan het prioriteitenlijstje:

1. haakjes
2. breuken
3. machten
4. vermenigvuldigen en delen
5. optellen en aftrekken

Verder:

Ik kan me erin vinden om sin2a te lezen als sin(2a), toch, niet algemeen.
In de praktijk kan het discutabele notaties opleveren, die naar mijn verwachting eindigen in een welles - nietes, beslist door de autoriteit van de docent.
Voorbeeld:

leerling noteert:

Code: Selecteer alles

sin2a

Nog steeds kan ik me vinden in het lezen van sin(2a)

Code: Selecteer alles

sin2 a

Hier ga ik twijfelen; door de afstand tussen "2" en "a" vind ik het niet meer overduidelijk.
sin(2)*a wordt acceptabel voor mij.

Code: Selecteer alles

sin2   a

Door de afstand tussen "2" en "a" lees ik nu sin(2)*a.

Deze voorbeelden komen in de praktijk waarschijnlijk weinig voor, daar kan ik niet over oordelen. Toch, eenduidig zeggen dat sin2a gelezen wordt als sin(2a) kan discussie opleveren, over hoe het geschreven moet worden geïnterpreteerd, wat mijn inziens ongewenst is.

voorbeeld 1:
sin 2α met α=15

en iedereen zal met mij beamen dat dit gelezen wordt als de sinus van 30° en is gelijk aan ½; niemand zou het in zijn hoofd halen om de sinus van 2 uit te rekenen en te vermenigvuldigen met 15

Daar ben ik het mee eens. Dit omdat 30° in de praktijk vaker voorkomt dan 30 rad. Verder is er een exacte oplossing (zonder goniometrische functie en imaginaire eenheid) met in dit geval 0.5. Voor sin(60): .

merk overigens op dat in de eerste situatie vanzelfsprekend graden wordt verondersteld, terwijl sin 2 al snel radialen wordt gekozen

Waarom de keuze voor radialen? Ik denk dat de keuze tussen radialen en graden moet afhangen van voorafgesproken regels, dan wel praktisch voorkomen, wat dan een afspraak vormt.

Ik zou voor graden kiezen, en wel om het volgende:

sin(6) in graden in wolfram

met (stel: sin(x)=y (ik heb "y" ingevoerd als x)) krijg ik dan:



waarvan wolfram zegt dat het reeël is.
3x-4x^3 = sin(6)

Er is een "exacte" oplossing te vinden voor sin(2) in graden. Afspraken formuleren voor de keuze lijkt me een moeilijke taak, zeker als afronden van "a" mag. voorbeeld:
Mogelijke afspraak: Als a geheel is, dan is sin(a) in graden.
\sin(10000) \approx \sin(3183 pi).
daardoor zou ik voor radialen kiezen als a=10000.
De "a" is in radialen mooier. Als je zou afronden. Dan begeef je je op erg glad ijs.

Ik denk dat vooraf duidelijk moet zijn of je met graden of radialen werkt. Bij toetsen op de middelbare school was dat zo.