Dürer's Shell Curve

Integraalrekening, afgeleiden, rijen, convergentie & divergentie van reeksen, meervoudige integratie.
Plaats reactie
Mabon
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 4
Lid geworden op: 01 nov 2018, 15:31

Dürer's Shell Curve

Bericht door Mabon » 05 nov 2018, 16:43

Omdat ik weinig gehoor kreeg in het middelbareschoolgedeelte van dit forum, misschien wel door de complexiteit van mijn vraag, doe ik nu hier een oproep:


Hallo

Ik zit momenteel in het zesde jaar Latijn-Wiskunde, en voor een onderzoekscompetentie werd ons gevraagd om drie verschillende bekende krommen te bestuderen. Ik heb onder meer mijn oog laten vallen op de Shell Curve van August Dürer, maar mijn pogingen om de vergelijking op te stellen lopen een beetje spaak, ergo mijn bericht op dit forum.

In mijn eigen onderzoek kwam ik uit op drie vergelijkingen die zouden moeten leiden tot de uiteindelijke uitdrukking van de kromme, zijnde:

b=r+q
a²=(x-q)²+y²
y=(-r/q)x+r

met a en b constante waarden en r en q x- en y-waarden van de respectievelijke punten op de x-as, cfr. de definitie van de kromme.

Opzoekwerk vertelt mij dat door eliminatie van r en q dit zou moeten leiden tot het impliciete voorschrift van de kromme, zijnde blijkbaar:

2y²(x²+y²)-2by²(x+y)+(b²-3a²)y²-a²x²+2a²b(x+y)+a²(a²*b²)=0

en hier spant voor mij het schoentje: ik krijg q en r niet degelijk weggewerkt. Kan iemand mij hiermee helpen?

Een eventueel tweede vraag die ik heb gaat over de parametervergelijkingen van deze curve. Ik ben in een boek de volgende tegengekomen:

x²+y²-2xt+t²-a²=0
(y-b-x)t+t²+bx=0

(In de bijgevoegde link meer uitleg en definitie van parameter t:
https://cms.math.ca/crux/backfile/Crux_v9n02_Feb.pdf - zie pagina 32)

Men gaf als verklaring hiervoor dat het te vinden was door 'elementary considerations'. Precies toch niet zo elementair, want voor mij was dit net een trapje te hoog. Iemand die me dit kan uitleggen?

Alvast bedankt voor jullie hulp!

Mabon

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14220
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Dürer's Shell Curve

Bericht door SafeX » 06 nov 2018, 14:39

Dubbel posten mag niet, maar dit hoort wel hier thuis. De andere post wordt verwijderd.

Is het je bedoeling het impliciete voorschrift te vinden uit de gegeven vergelijkingen of heb je nog meer vragen?

Mabon
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 4
Lid geworden op: 01 nov 2018, 15:31

Re: Dürer's Shell Curve

Bericht door Mabon » 06 nov 2018, 19:33

Mijn excuses voor de dubbele post, ik was me niet bewust van het verbod daarop.

Het vinden van het impliciet voorschrift is inderdaad mijn grootste zorg. Ik heb in de tussentijd nog wat zitten knoeien erop, zonder resultaat. Extra uitleg over de bijgevoegde parametervergelijkingen zou ook leuk zijn, maar met het impliciet voorschrift zou ik al heel tevreden zijn.

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3047
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Dürer's Shell Curve

Bericht door arie » 07 nov 2018, 09:09

Afbeelding

De elementaire overwegingen:
Neem:
Q = (t, 0)
R = (0, b-t)
P' = (x, y)
| QP' | = a
en definieer
S = (x, 0) = de loodrechte projectie van P' op de x-as.

Gebruik de stelling van Pythagoras in driehoek P'QS om de eerste vergelijking van (1) in je pdf pag.32 af te leiden.

Gebruik de gelijkvormigheid van driehoek OQR met driehoek SQP' om de tweede vergelijking van (1) af te leiden:





Jouw afleiding:
Bovenstaande komt overeen met jouw eerdere afleiding van:
b=r+q
a²=(x-q)²+y²
y=(-r/q)x+r

Als we hieruit r elimineren via r = b - q, dan krijgen we:

a² = (x-q)² + y² {onveranderd}
a² = x² - 2xq + q² + y²
x² + y² - 2xq + q² - a² = 0
met q=t levert dit de eerste vergelijking van (1)

en

y = (-r/q)x + r
y = (-(b-q)/q)x + b - q
y = ((q-b)/q)x + b - q {vermenigvuldig links en rechts met q:}
qy = (q-b)x + bq - q²
q(y-x-b) + q² + bx = 0
met q=t levert dit de tweede vergelijking van (1).


Eliminatie van q:
We hebben nu dus gevonden [1]:
x² + y² - 2xq + q² - a² = 0
ofwel
q² = 2xq - x² - y² + a²
en we hebben ook gevonden [2]:
q(y-x-b) + q² + bx = 0
ofwel
q² = (x+b-y)q - bx

Uit [1] en [2] volgt:
2xq - x² - y² + a² = (x+b-y)q - bx
Herschrijf dit als
q = ...
en vul dat resultaat in in één van de voorgaande vergelijkingen.


Kom je zo verder?

Mabon
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 4
Lid geworden op: 01 nov 2018, 15:31

Re: Dürer's Shell Curve

Bericht door Mabon » 07 nov 2018, 16:16

Amai, echt duizendmaal dank! Met dit kan ik zeker al verder, maar als het niet te veel moeite is zou ik graag ook nog iets anders willen vragen. De parametervergelijkingen die ik nu dus heb via het boek uit mijn eerste bericht voldoen eigenlijk niet helemaal aan de vereisten die mijn leerkracht stelt. De parametervergelijkingen zouden van de vorm x=... en y=.... En nu kwam ik Wikipedia zo'n parametervergelijkingen aan (zie https://en.wikipedia.org/wiki/Conchoid_of_D%C3%BCrer - Tabje 'Equation'), maar het lukt me niet deze vergelijkingen uit de andere gekende vergelijkingen af te leiden, noch uit de grafiek. Enig idee? Dit is normaal gezien het laatste wat ik over dit onderwerp te vragen zou hebben, dus als je me daarmee kan helpen zou ik echt heel dankbaar zijn.

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3047
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Dürer's Shell Curve

Bericht door arie » 07 nov 2018, 18:21

Afbeelding

Hierboven een detail van mijn vorige plaatje.

Definieer hoek theta:



Druk y uit in a (= |QP'|) en theta

Vervolgens zien we:
x = |OQ| + |QS|
druk |QS| uit in a en theta

Dan moeten we nog hebben |OQ| = t:
[1] druk t uit in L (= |QR|) en theta:
[2] druk b-t uit in L en theta
Elimineer t uit vergelijking [1] en [2], en je houdt een vergelijking over waarin L uitgedrukt
kan worden in b en theta.
Substitueer deze uitdrukking voor L in vergelijking [1].

Vervang tenslotte theta door -t.

Hoe ver kom je zo?

PS:
Er zit geen limiet op het aantal vragen dat je hier mag stellen, dus als iets niet duidelijk is: blijf gewoon vragen.

Mabon
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 4
Lid geworden op: 01 nov 2018, 15:31

Re: Dürer's Shell Curve

Bericht door Mabon » 10 nov 2018, 15:40

Bedankt voor je verduidelijking! Ik ben mee nu.
Ik zal nu nog even dankbaar gebruik maken van je aanbod: ik heb eigenlijk ook nog een heel klein vraagje over een andere curve, de Piriform of pear-shaped quartic. Deze curve is een stuk makkelijker en in het algemeen heb ik er nog geen problemen mee gehad, buiten dit dan: als je even in dit handboek (https://www.scribd.com/document/3561348 ... nce-1972-2) op pagina 149 zou willen kijken, dan zie je daar de parametervergelijkingen van deze curve. Ik snap wel grotendeels hoe 'ie van dat punt P naar die parametervergelijkingen gaat, maar ik zie niet in waarom je daar wanneer je overstapt naar de parameter t het plusminusteken mag laten vallen. Kan jij me dit uitleggen?

Ik wil je alvast heel hard bedanken voor al je antwoorden. Je hebt me echt al een stuk verder geholpen!

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3047
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Dürer's Shell Curve

Bericht door arie » 11 nov 2018, 13:43

Merk eerst op: in de formule



zijn beide plus-min symbolen gekoppeld: ofwel beide negatief, ofwel beide positief.
Er zijn dan slechts 2 mogelijkheden voor P:



en




Als m>0, dan ligt lijn

voor x>0 boven de x-as en vinden we beide punten P met een positieve y-coördinaat.

Verder weten we dat de uitdrukking onder het wortelteken groter of gelijk aan nul moet zijn:

dus


Als we definieren:

met

dan doorloopt m voor deze t alle toegestane waarden.
(controleer straks zelf nog even dat dit ook goed gaat voor m=0)

In dit interval van t zijn zowel cos(t) als sin(t) positief of nul.
Als we dit substitueren in bovenstaande formules, dan krijgen we:



en




Als we vervolgens het interval van t uitbreiden tot



dan blijft cos(t) en dus m positief (we blijven boven de x-as),
maar kunnen we bovenstaande formules samentrekken tot:



Immers:
- voor doorlopen we
- voor doorlopen we


Een soortgelijk verhaal geldt voor negatieve m (het gedeelte van de curve onder de y-as), waarbij




Als we tenslotte t de hele cirkel laten doorlopen:



dan hebben we de volledige piriforme curve gedefinieerd.


Wordt het hiermee wat duidelijker?

Plaats reactie