Differentiaalvergelijkingen

Integraalrekening, afgeleiden, rijen, convergentie & divergentie van reeksen, meervoudige integratie.
Plaats reactie
Kinop
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 8
Lid geworden op: 19 nov 2018, 16:01

Differentiaalvergelijkingen

Bericht door Kinop » 30 mei 2019, 18:10

Ben momenteel bezig met mijn oefeningen te hermaken en het integreren lukt wel maar ik snap het verschil niet tussen:
- Particuliere oplossing
- Singuliere oplossing

Dus als de prof de algemene oplossing vraagt, moet ik gewoon X en Y elk aan hun kant zetten en integreren. Ik heb reeds online gezocht om een uitleg in mensentaal te vinden voor P.O. en S.O. maar helaas niets. Wie kan mijn redder zijn?

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3190
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Differentiaalvergelijkingen

Bericht door arie » 31 mei 2019, 17:00

Losjes gezegd:

Een oplossing van een differentiaalvergelijking is een functie \(y = \Phi(x)\) die na substitutie in de differentiaalvergelijking deze vergelijking kloppend maakt.

De algemene oplossing van een \(n^{de}\) orde differentiaalvergelijking is een oplossing die \(n\) vrije constanten bevat (constanten \(C_1, C_2, ... , C_n\))
Ter herinnering: de orde \(n\) van een differentiaalvergelijking = de orde van de hoogste afgeleide van y in die differentiaalvergelijking.

Een singuliere oplossing is een oplossing die je niet kan afleiden uit de algemene oplossing (er is geen enkele mogelijke keuze van de constanten die de algemene oplossing gelijk maakt aan de singuliere oplossing).

Voorbeeld:
\((y')^2 + y^2 = 1\)
heeft als algemene oplossing
\(y = \sin(x+C)\)
maar welke waarde voor C je ook kiest, je komt nooit op deze 2 oplossingen:
\(y = 1\)
\(y = -1\)
Deze laatste 2 oplossingen zijn singuliere oplossingen.

Lineaire differentiaalvergelijkingen kennen GEEN singuliere oplossingen: alle oplossingen van lineaire differentiaalvergelijkingen zijn te halen uit de algemene oplossing.

Een \(n^{de}\) orde lineaire differentiaalvergelijking is een differentiaalvergelijking in de vorm

\(a_n(x)\frac{d^ny}{dx^n}+ a_{n-1}(x)\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}}+ ... + a_1(x)\frac{dy}{dx}+ a_0(x)y = f(x)\)

waarbij \(a_n(x)\) niet de nulfunctie is (anders zijn we de term met \(\frac{d^ny}{dx^n}\) = de hoogste afgeleide van y naar x kwijt).

Als f(x) de nulfunctie is, dan is deze differentiaalvergelijking homogeen,
is f(x) NIET de nulfunctie, dan is deze inhomogeen.

De homogene vergelijking is relatief eenvoudig op te lossen.

De inhomogene vergelijking los je op door:
- eerst een particuliere oplossing \(y_{part}(x) = ...\) te vinden. Dit is niets anders dan één mogelijke oplossing van de (inhomogene) differentiaalvergelijking.
- daarna los je de gereduceerde vergelijking op: het homogene gedeelte van onze differentiaalvergelijking. Dit is dezelfde differentiaalvergelijking, maar nu met f(x) gelijk aan nul gemaakt. Dit geeft \(y_{hom}(x) = ...\)
De totale oplossing van de inhomogene vergelijking is dan:
\(y(x) = y_{hom}(x) + y_{part}(x)\)

Voorbeeld:
De eerste orde inhomogene differentiaalvergelijking:
\(y' + y = x\)
In dit geval is f(x) = x
Stel een particuliere oplossing heeft de vorm
\(y = ax + b\)
dan is
\(y' = a\)
en als we dit invullen in de differentiaalvergelijking dan krijgen we:
\(a + (ax + b) = x\)
\((a-1)x + (a+b) = 0\)
en dit moet gelden voor alle x.
Dan moet
\(a-1 = 0\) dus \(a = 1\)
en
\((a+b) = 0\) dus \((1+b)=0\) dus \(b=-1\)
zijn.
Dus \(y_{part} = x - 1\) is een oplossing = een particuliere oplossing voor onze differentiaalvergelijking.

De gereduceerde (homogene) vergelijking is nu:
\(y' + y = 0\)
ofwel
\(y' = -y\)
met algemene oplossing:
\(y_{hom} = C\cdot e^{-x}\)

Dus de algemene (volledige) oplossing van onze inhomogene differentiaalvergelijking is:
\(y = x - 1 + C\cdot e^{-x}\)

Merk op:
de particuliere oplossing is een volwaardige oplossing van de inhomogene vergelijking ("als je hem invult klopt het"), die hier bovendien verkregen kan worden uit de algemene oplossing door C = 0 te kiezen.
Dit laatste in tegenstelling tot de singuliere oplossing die we eerder zagen: deze is ook een volwaardige oplossing, maar kan NIET verkregen worden uit de algemene oplossing.
("een particuliere oplossing is een enkele/mogelijke oplossing, een singuliere oplossing is een vreemde/aparte oplossing")

Wordt het hiermee wat duidelijker?

Kinop
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 8
Lid geworden op: 19 nov 2018, 16:01

Re: Differentiaalvergelijkingen

Bericht door Kinop » 04 jun 2019, 09:18

Bij jouw voorbeeld van de differentiaalvergelijking zeg je dat, ongeacht welke waarde dat ik neem voor C, de uitkomst zal nooit -1 of 1 zijn. Dit punt snap ik niet? X blijft uiteindelijk toch een variabele waarde?

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3190
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Differentiaalvergelijkingen

Bericht door arie » 04 jun 2019, 09:37

De oplossing van de differentiaalvergelijking zijn functies in de vorm y = f(x), y als functie van x.
In dit geval is het domein \(\mathbb{R}\)

Een deel van deze functies wordt beschreven door:
\(y = \sin(x+C)\)
Dit is een familie functies met als grafiek een sinuscurve.
Afhankelijk van de keuze van C schuift die sinuscurve naar links of rechts.
Het bereik van al deze functies is het interval [-1, 1].

Er is echter geen keuze van C, waardoor deze functie overgaat in:
\(y = 1\)
of
\(y = -1\)
Deze laatste 2 functies zijn horizontale lijnen.

Noot: \(\sin(x+C)\) kan de waarde 1 of -1 aannemen, maar niet over het hele domein zoals de 2 laatste (singuliere) oplossingen.

Kinop
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 8
Lid geworden op: 19 nov 2018, 16:01

Re: Differentiaalvergelijkingen

Bericht door Kinop » 12 jun 2019, 14:52

Dankje voor de hulp!

Plaats reactie