Oppervlaktebepaling

[Pjotr]

Hoi!!

Onderstaand vraagstuk m.b.t. het zoeken van de oppervlakte binnen bepaalde grenzen heb ik zojuist opgelost maar weet niet dat de oplossing correct is en dat de methode goed is.
Hierbij heb ik eerst:

1) De grenzen bepaald
2) Primitieve functie van 12xy bepaald.
3) Integratiegrenzen ingevuld en opgelost.

Alvast bedankt voor de eventuele correcties!!

https://imgur.com/TU66p4N

[arie]

Twee details:
[1]
Merk eerst op dat het geen oppervlaktebepaling maar een volumebepaling is:
we hebben de functie
z = f(x, y) = 12xy

[2]
Je kiest ervoor om eerst te integreren naar y en dan naar x.
Dan zijn de integratiegrenzen ok, maar moet je ook eerst primitiveren naar y:

\(\displaystyle\int_0^1 \displaystyle\int_0^{\sqrt{1-x}}12xy \;dy \;dx =\displaystyle\int_0^1 \left[ 6xy^2 \right]_{y=0}^{\sqrt{1-x}} \; dx = \;...\; = 1\)

Eerst integreren naar x kan ook, maar dan wordt x begrensd door een functie van y:

\(\displaystyle\int_0^1 \displaystyle\int_0^{1-y^2}12xy \;dx \;dy =\displaystyle\int_0^1 \left[ 6x^2y \right]_{x=0}^{1-y^2} \; dy = \;...\; = 1\)

(deze laatste vorm levert iets meer rekenwerk)

[Pjotr]

Bedankt voor de uitgebreide uitleg arie

Wanneer het een oppervlakte bepaling is, heeft men een functie in de vorm: f(x,y).
Wanneer het volume bepaald moet worden is het is de vorm f(x,y,z) (denk ik)

Kan dit kloppen?

[arie]

Oppervlak:
Voorbeeld: een gelijkbenige driehoek:
Bepaal het oppervlak ingesloten door:
- de positieve x-as (y=0)
- de positieve y-as (x=0)
- de lijn y = f(x) = 2 - x

dit wordt gegeven door de integraal

\(\displaystyle\int_0^2 2-x \; dx = \left[2x -\frac{1}{2}x^2 \right]_0^2 = 4 - 2 = 2\)

We integreren hier f(x) over x, de y-waarde is een functie van x

Volume:
Voorbeeld: prisma met hoogte 3 en bovenstaand oppervlak als grondvlak:
z = f(x, y) = 3
(voor alle waarden van x en y is z gelijk aan 3)
Het volume hiervan is:

\(\displaystyle\int_0^2 \displaystyle\int_0^{2-x} 3 \; dy\; dx = \displaystyle\int_0^2 \left[3y\right]_{y=0}^{2-x} \; dx= \displaystyle\int_0^2 6-3x \; dx = \left[ 6x - \frac{3}{2} x^2 \right]_0^2 = 12-6=6 \)


Losjes gezegd:
- voor het oppervlak onder een curve y = f(x) is y een functie van x, we bepalen dan
\(\displaystyle\int f(x) \; dx\)
- voor het volume onder een gekromd vlak z = f(x, y) is z een functie van x en y, we bepalen dan
\(\displaystyle\int\displaystyle\int f(x, y) \; dx \; dy\)

Bedenk: de integraal is de sommatie van alle functiewaarden over het gegeven domein:
- is het domein eendimensionaal (x), dan voegt de functiewaarde y = f(x) daar een dimensie aan toe, en krijgen we een oppervlak
- is het domein tweedimensionaal (x, y), dan voegt de functiewaarde z = f(x, y) daar ook weer een dimensie aan toe, en krijgen we een volume.

Zie bijvoorbeeld ook https://nl.wikipedia.org/wiki/Meervoudige_integraal

[Pjotr]

Bedankt voor de uitgebreide uitleg arie!! Dit heeft me zeer goed geholpen

[Pjotr]

\(\displaystyle\int_0^1 \displaystyle\int_0^{\sqrt{1-x}}12xy \;dy \;dx =\displaystyle\int_0^1 \left[ 6xy^2 \right]_{y=0}^{\sqrt{1-x}} \; dx = \;...\; = 1\)

Eerst integreren naar x kan ook, maar dan wordt x begrensd door een functie van y:

\(\displaystyle\int_0^1 \displaystyle\int_0^{1-y^2}12xy \;dx \;dy =\displaystyle\int_0^1 \left[ 6x^2y \right]_{x=0}^{1-y^2} \; dy = \;...\; = 1\)

Bij het uitwerken van de beide integralen (zowel naar y als naar x) heb ik gebruik gemaakt van een rekentool.
De stappen waarbij deze rekentool de integraal uitrekent zijn nog al omslachtig in mijn ogen gezien. Kan het zijn dat er een eenvoudige manier is om de integraal op te lossen en de uiteindelijke uitkomst van "1" uitkomt (heb de link van de rekentool hieronder geplaatst)?

https://www.symbolab.com/solver/step-by ... ht)dx%20dy


Alvast enorm bedankt

[arie]

Zoek het niet te ver: je kan meervoudige integralen één voor één als enkelvoudige integralen van binnen naar buiten uitwerken.
Hier een directere variant van de oplossing van jouw integralen (en wellicht kan je voor jezelf nog één of meer tussenstappen overslaan):

\(\displaystyle\int_0^1 \displaystyle\int_0^{\sqrt{1-x}}12xy \;dy \;dx =\displaystyle\int_0^1 \left[ 6xy^2 \right]_{y=0}^{\sqrt{1-x}} \; dx\)

grenzen invullen:

\(= \displaystyle\int_0^1 \left[ 6x(\sqrt{1-x})^2 - 6x\cdot0^2 \right] dx\)

vereenvoudigen:

\(= \displaystyle\int_0^1 6x(1-x) \; dx = \displaystyle\int_0^1 6x-6x^2 \; dx\)

integreren:

\(= \left[ 3x^2 - 2x^3 \right]_0^1 = (3 - 2) - (0 - 0) = 1\)


Evenzo:

\(\displaystyle\int_0^1 \displaystyle\int_0^{1-y^2}12xy \;dx \;dy =\displaystyle\int_0^1 \left[ 6x^2y \right]_{x=0}^{1-y^2} \; dy\)

\(= \displaystyle\int_0^1 \left[ 6(1-y^2)^2y - 6\cdot 0^2\cdot y \right] \; dy\)

\(= \displaystyle\int_0^1 6y(y^4-2y^2+1) \; dy = \displaystyle\int_0^1 6y^5 - 12y^3 + 6y \; dy\)

\(= \left[ y^6 - 3y^4 + 3y^2 \right]_0^1 = (1-3+3) - (0-0+0) = 1\)


Merk op: in de eerste variant hebben we iets minder rekenwerk doordat \(\sqrt{1-x}\) mooi wegvalt in de \(y^2\) waarin we hem moeten substitueren. Het loont vaker de moeite vooraf te kijken wat de handigste integratievolgorde is.

[Pjotr]

Ik snap het!! Bedankt voor de grondige uitleg!!