Vast bij een oefening

Integraalrekening, afgeleiden, rijen, convergentie & divergentie van reeksen, meervoudige integratie.
Plaats reactie
koçero
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 7
Lid geworden op: 19 jan 2015, 09:42

Vast bij een oefening

Bericht door koçero » 07 mei 2020, 12:37

Hallo,

Ik hoop dat ik hier in het juiste forumdeel ben.

Ik zit vast bij de volgende vergelijkingen:

\(860,15=\frac{54}{1+r}+\frac{54}{(1+r)^2}+\frac{900}{(1+r)^2}\)

\(145,81=\frac{5,5}{1+r}+\frac{5,5}{(1+r)^2}+\frac{5,5}{(1+r)^3}+...+\frac{5,5}{(1+r)^{10}}+\frac{100}{(1+r)^{10}}\)

Ik zou voor beiden de r moeten isoleren maar dat lukt me maar niet.

Kunnen jullie me op weg helpen?

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3513
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Vast bij een oefening

Bericht door arie » 07 mei 2020, 19:22

koçero schreef: \(860,15=\frac{54}{1+r}+\frac{54}{(1+r)^2}+\frac{900}{(1+r)^2}\)
Stel voor het gemak even x = 1 + r en los op naar x.
Immers: als je x uiteindelijk weet, dan weet je r = x - 1 ook.
Je vergelijking wordt dan:

\(860,15=\frac{54}{x}+\frac{54}{x^2}+\frac{900}{x^2}\)

Vermenigvuldig links en rechts met \(x^2\) en je krijgt:

\(860,15 \cdot x^2=54\cdot x+54 + 900\)

Kan je x hieruit oplossen?


koçero schreef: \(145,81=\frac{5,5}{1+r}+\frac{5,5}{(1+r)^2}+\frac{5,5}{(1+r)^3}+...+\frac{5,5}{(1+r)^{10}}+\frac{100}{(1+r)^{10}}\)
Als je hetzelfde hier doet, maar nu vermenigvuldigen met \(x^{10}\) dan ontstaat een 10-de graads vergelijking in x.
Heb je dit soort vergelijkingen numeriek leren oplossen?

koçero
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 7
Lid geworden op: 19 jan 2015, 09:42

Re: Vast bij een oefening

Bericht door koçero » 09 mei 2020, 19:55

Ik zou x afzonderen naar het linkerlid:

\(860,15x^2-54x=954\)

En dan de x buiten de haakjes brengen?

De tweede oefening hebben we idd niet numeriek moeten oplossen, maar met een grafische rekenmachine.

arno
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1909
Lid geworden op: 25 dec 2008, 16:28
Locatie: Beek en Donk, Noord-Brabant

Re: Vast bij een oefening

Bericht door arno » 09 mei 2020, 21:53

koçero schreef:
09 mei 2020, 19:55
Ik zou x afzonderen naar het linkerlid:

\(860,15x^2-54x=954\)

En dan de x buiten de haakjes brengen?
Nee, je krijgt als uiteindelijke vergelijking 860,15x²-54x-954 = 0. Wat voor soort vergelijking is dit, en wat is de algemene oplossingsmethode voor dit soort vergelijking?
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3513
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Vast bij een oefening

Bericht door arie » 09 mei 2020, 21:57

koçero schreef: \(860,15x^2-54x=954\)
En dan de x buiten de haakjes brengen?
In dat geval krijgen we
\(x \cdot (860,15x-54) = 954\)
maar dan zoeken we nu 2 factoren waarvan het product 954 is.
Lukt dat eenvoudig?

Zo niet, dan hebben we nog een mogelijkheid: herschrijf de vergelijking als:
\(860,15x^2-54x -954 = 0\)
en dat is in de vorm
\(a\cdot x^2+b\cdot x + c = 0\)
die je met de abc-formule
(zie https://nl.wikipedia.org/wiki/Wortelformule)
of via kwadraatafsplitsing
(zie https://nl.wikipedia.org/wiki/Kwadraatafsplitsen)
kan oplossen.
Heb je hiermee leren werken?

koçero schreef: De tweede oefening hebben we idd niet numeriek moeten oplossen, maar met een grafische rekenmachine.
Ook dan is het handig x = 1 + r te gebruiken:

\(\frac{5,5}{x}+\frac{5,5}{x^2}+\frac{5,5}{x^3}+...+\frac{5,5}{x^{10}}+\frac{100}{x^{10}} = 145,81\)

ofwel

\(\frac{5,5}{x}+\frac{5,5}{x^2}+\frac{5,5}{x^3}+...+\frac{5,5}{x^{10}}+\frac{100}{x^{10}} - 145,81 = 0\)

Dat betekent dat je de nulpunten zoekt van deze functie:

\(f(x) = \frac{5,5}{x}+\frac{5,5}{x^2}+\frac{5,5}{x^3}+...+\frac{5,5}{x^{10}}+\frac{100}{x^{10}} - 145,81\)

dat wil zeggen: het snijpunt (of de snijpunten) van de grafiek van deze functie met de x-as.

koçero
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 7
Lid geworden op: 19 jan 2015, 09:42

Re: Vast bij een oefening

Bericht door koçero » 11 mei 2020, 14:06

Ik heb beide manieren geprobeerd maar het lukt niet echt.

Bij kwadraatafsplitsingen kom ik tot: 860,15 (x - 0,0314)^2 = 2509151,4. Als ik verderreken kom ik uit bij x = 54,01.

Bij de abc-formule heb ik x = (-54) +/_ VRKNT (((-54)^2-4((860,15)(954))/2(860,15)). Het deel onder de vierkantswortel geeft een foutmelding bij mij wanneer ik dit probeer uit te tellen.

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3513
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Vast bij een oefening

Bericht door arie » 11 mei 2020, 15:26

koçero schreef: Bij kwadraatafsplitsingen kom ik tot: 860,15 (x - 0,0314)^2 = 2509151,4.
Op een of andere manier krijg je rechts een veel te groot getal.
Het eerste deel, nu heel uitgebreid:

\(860.15x^2-54x-954=0\)

\(860.15x^2-54x = 954\)

\(860.15(x^2-0.0627797x) = 954\)

\(x^2-0.0627797x = \frac{954}{860.15}= 1.1091088\)

\((x-0.03138987)^2 - 0.03138987^2 = 1.1091088 \)

\((x-0.03138987)^2 = 1.1091088 + 0.03138987^2 = 1.11009412\)

Nu nog een paar stappen naar het eindantwoord.

koçero schreef: Bij de abc-formule heb ik x = (-54) +/_ VRKNT (((-54)^2-4((860,15)(954))/2(860,15)). Het deel onder de vierkantswortel geeft een foutmelding bij mij wanneer ik dit probeer uit te tellen.
\(860.15x^2-54x-954=0\)

a = 860.15
b = -54
c = -954

De abc-formule geeft dan:

\(x = \frac{-(-54) \pm \sqrt{(-54)^2 - 4\cdot 860.15 \cdot (-954)}}{2\cdot 860.15}\)

Waarschijnlijk komt de foutmelding doordat je onder het wortelteken 954 in plaats van -954 gebruikt.

Let op: ook de eerste b in de noemer moet -b zijn (en vervolgens is negatief negatief weer positief).


Kom je nu met beide methoden op hetzelfde antwoord uit?

koçero
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 7
Lid geworden op: 19 jan 2015, 09:42

Re: Vast bij een oefening

Bericht door koçero » 12 mei 2020, 09:54

Ja inderdaad, ik had de vierkantswortel van - 3279416,4, wat een foutmelding gaf.

Het is gelukt nu! Bedankt!

Plaats reactie