Omgekeerd bewijs (?)

Integraalrekening, afgeleiden, rijen, convergentie & divergentie van reeksen, meervoudige integratie.
Plaats reactie
henkoegema
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 14
Lid geworden op: 02 jul 2019, 17:58

Omgekeerd bewijs (?)

Bericht door henkoegema » 02 sep 2020, 19:10

Als ik moet bewijzen dat:
\(tan(2x) = \frac{2tan(x)}{1-tan^{2}(x)}\)
wat me (in eerste instantie) niet lukte
maar wel
\( \frac{2tan(x)}{1-tan^{2}(x)}= tan(2x)\)
wat me wel (direct) lukte.

Mag dat?
Of voldoe ik daarmee niet aan de opgave?

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3513
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Omgekeerd bewijs (?)

Bericht door arie » 02 sep 2020, 21:37

Het mag als je bewijs een keten van gelijkheden is, dus in deze vorm staat:

\( \frac{2tan(x)}{1-tan^{2}(x)}=\; ...\;=\; ... \;=\;... \;= tan(2x)\)

Het is ook geen probleem als je een bewijs hebt waarbij je tussen alle stappen van je bewijs een heen en weer gaande pijl kan zetten, dus een bewijs in deze vorm:
\( \frac{2tan(x)}{1-tan^{2}(x)}=\; ... \)
\(\Leftrightarrow\)
\( \frac{2tan(x)}{1-tan^{2}(x)}=\; ... \)
\(\Leftrightarrow\)
\( \frac{2tan(x)}{1-tan^{2}(x)}=\; ... \)
\(\Leftrightarrow\)
\( \frac{2tan(x)}{1-tan^{2}(x)} = tan(2x)\)
Je mag het dan van boven naar onder lezen, en ook van onder naar boven.

MAAR: als je ergens in je bewijs een pijl met 1 richting gebruikt, dan kan het zijn dat de omgekeerde weg niet klopt.
Bijvoorbeeld:
\(x=2\)
\(\Rightarrow\)
\(x^2 = 4\)
Dit klopt, maar het omgekeerde klopt hier niet, immers:
als \(x^2 = 4\) dan is niet noodzakelijk ook \(x=2\) want het is ook mogelijk dat \(x=-2\)
ofwel:
\(x^2 = 4\Rightarrow x=2\) OF \(x=-2\)

henkoegema
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 14
Lid geworden op: 02 jul 2019, 17:58

Re: Omgekeerd bewijs (?)

Bericht door henkoegema » 02 sep 2020, 22:55

Dank je Arie.

Plaats reactie