Integraal rekening van tg²x

Integraalrekening, afgeleiden, rijen, convergentie & divergentie van reeksen, meervoudige integratie.
Plaats reactie
orsted
Vast lid
Vast lid
Berichten: 25
Lid geworden op: 23 okt 2013, 13:16

Integraal rekening van tg²x

Bericht door orsted » 10 dec 2013, 19:48

hoi allemaal,

Ik probeer integraalrekenen hier onder de knie te krijgen, maar ik loop vast bij enkele enkele oefeningen waarin sin,cos en tan gekwadrateerd worden. Twee voorbeelden:

Afbeelding

Afbeelding

deze uit elkaar trekken lukt nog wel. De integraal van bijvoorbeeld cos x berekenen lukt ook. Maar wat ik met die gekwadrateerde goniometrische functies moet doen weet ik niet.

Is er iemand die mij in de goeie richting kan wijzen?

Alvast bedankt!

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3911
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Integraal rekening van tg²x

Bericht door arie » 10 dec 2013, 20:00

Hint:


SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Integraal rekening van tg²x

Bericht door SafeX » 10 dec 2013, 20:04

orsted schreef: Afbeelding
Wat is de afgeleide van tan(x) naar x? Kan je daar je voordeel mee doen?

Afbeelding
Ken je de formule voor cos(2x) (3 formules)? Kan je daar je voordeel mee doen?

orsted
Vast lid
Vast lid
Berichten: 25
Lid geworden op: 23 okt 2013, 13:16

Re: Integraal rekening van tg²x

Bericht door orsted » 10 dec 2013, 20:26

arie schreef:Hint:

Aha, ik had deze formule al op het internet gevonden, maar dan niet met kwadraten. Ik wist niet dat dit ook mocht :)
Maar, nu zit ik nog steeds met die kwadraten. Hoe krijg ik die weg? Mag ik gewoon de formule van cos x toepassen en daarna bij de integraal het opnieuw kwadrateren? (ik veronderstel van niet?)

@SafeX: de afgeleide van tan(x) naar x is 1/(cos²x) Ik zie niet meteen het voordeel.

en nee, die formule ken ik niet. We hebben een formularium met enkele basis afgeleiden en integralen op gekregen, dat we ook mogen gebruiken op het examen. Maar die van cos(2x) staat er niet tussen.


EDIT: ik heb geprobeerd de stappen van WolframAlpha te volgen, maar daar gebruiken ze sec²x. Iets wat ik ook al op het internet ben tegengekomen, maar dit is niet in de les aan bod gekomen. Is dit misschien een verkorte schrijfwijze van iets? of...?

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Integraal rekening van tg²x

Bericht door SafeX » 10 dec 2013, 20:34

orsted schreef:
arie schreef: @SafeX: de afgeleide van tan(x) naar x is 1/(cos²x) Ik zie niet meteen het voordeel.
Als je de hint van arie volgt is 1+tan^2(x)=... , zie je het dan wel?

Maar die van cos(2x) staat er niet tussen.
Dit zijn formules bij goniometrie, zoek je dan niet verkeerd?

orsted
Vast lid
Vast lid
Berichten: 25
Lid geworden op: 23 okt 2013, 13:16

Re: Integraal rekening van tg²x

Bericht door orsted » 10 dec 2013, 20:40

Bedoel je deze?

cos2a = cos²a-sin²a = 1-2sin²a = 2cos²a-1


WolframAlpha heeft me bij die 2de goed op weg geholpen, en ben dan verder gegaan met substitutie, tot ik weer vast zat bij de kwadraten. Wolframalpha zei toen dit:
2 integral cos^2(s) ds-2 integral sin^2(u) du
= 2 integral (1/2 cos(2 s)+1/2) ds-2 integral sin^2(u) du

Wat gebeurt er precies in die 1ste term? hoezo verandert dat kwadraat in die breuken?

EDIT: nevermind voor dat laatste, ik heb het al terug gevonden in het formularium :)
cos²a = 1/2 (1+cos2a)

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Integraal rekening van tg²x

Bericht door SafeX » 10 dec 2013, 20:57

orsted schreef: cos2a = cos²a-sin²a (= 1-2sin²a = 2cos²a-1)
Als je voor a invult x/2, wat zie je dan?

WolframAlpha heeft me bij die 2de goed op weg geholpen, en ben dan verder gegaan met substitutie, tot ik weer vast zat bij de kwadraten. Wolframalpha zei toen dit:
2 integral cos^2(s) ds-2 integral sin^2(u) du
= 2 integral (1/2 cos(2 s)+1/2) ds-2 integral sin^2(u) du

Wat gebeurt er precies in die 1ste term? hoezo verandert dat kwadraat in die breuken?
Is hier nog een vraag over ...

orsted
Vast lid
Vast lid
Berichten: 25
Lid geworden op: 23 okt 2013, 13:16

Re: Integraal rekening van tg²x

Bericht door orsted » 11 dec 2013, 17:05

SafeX schreef:
orsted schreef: cos2a = cos²a-sin²a (= 1-2sin²a = 2cos²a-1)
Als je voor a invult x/2, wat zie je dan?
Ooooh!
Ik zie het :) Dan krijg je identiek dezelfde formule als de opgave :)
thanks! :D
WolframAlpha heeft me bij die 2de goed op weg geholpen, en ben dan verder gegaan met substitutie, tot ik weer vast zat bij de kwadraten. Wolframalpha zei toen dit:
2 integral cos^2(s) ds-2 integral sin^2(u) du
= 2 integral (1/2 cos(2 s)+1/2) ds-2 integral sin^2(u) du

Wat gebeurt er precies in die 1ste term? hoezo verandert dat kwadraat in die breuken?
Is hier nog een vraag over ...
Over dit is geen vraag meer, neen. Ik heb wel nog geprobeerd om de denkwijze van wolframalpha verder te volgen, maar daar kwam ik wat verder weer vast te zitten.

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Integraal rekening van tg²x

Bericht door SafeX » 12 dec 2013, 10:25

orsted schreef: Dan krijg je identiek dezelfde formule als de opgave :)
Mooi, maar welke integraal krijg je dan ...

Over dit is geen vraag meer, neen. Ik heb wel nog geprobeerd om de denkwijze van wolframalpha verder te volgen, maar daar kwam ik wat verder weer vast te zitten.
Ok, en de eerste opgave?

Plaats reactie