Duur exponentiele fase bij logistische groei

Integraalrekening, afgeleiden, rijen, convergentie & divergentie van reeksen, meervoudige integratie.
Plaats reactie
Winter
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 6
Lid geworden op: 09 jun 2013, 14:55

Duur exponentiele fase bij logistische groei

Bericht door Winter » 24 mar 2014, 19:16

Hallo allemaal

Waarom is het zo dat de exponentiele fase van een logistische groei functie gelijk is aan de helft van de grenswaarde?
Is dit zo bewezen, zoja hoe?

Mvg

Gebruikersavatar
op=op
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1087
Lid geworden op: 23 apr 2010, 18:11

Re: Duur exponentiele fase bij logistische groei

Bericht door op=op » 25 mar 2014, 09:24

De logistische-groei functie heeft een S achtige vorm.
Als de grenswaarde L is, dan kun je de grafiek in twee stukken verdelen door
de lijn y=L/2 in de grafiek te tekenen.
Je ziet dan dat de stijging in de logistische-groei functie boven de lijn y=L/2 afneemt,
en dat de stijging in de logistische-groei functie onder de lijn y=L/2 toeneemt,
Dus tot aan de lijn y=L/2 zie je een exponentieel stijgende functie, die daarna omklapt naar een
logaritme-achtige functie.

Winter
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 6
Lid geworden op: 09 jun 2013, 14:55

Re: Duur exponentiele fase bij logistische groei

Bericht door Winter » 25 mar 2014, 17:09

Bedankt, maar hebt u enig idee waarom juist dat dit de helft is van de grenswaarde, een verklaring hiervoor?

Gebruikersavatar
op=op
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1087
Lid geworden op: 23 apr 2010, 18:11

Re: Duur exponentiele fase bij logistische groei

Bericht door op=op » 25 mar 2014, 17:20

Het is een manier van zeggen.
Tot aan L/2 lijkt de grafiek op een exponentieel stijgende functie.
Dat is niet exact, maar een zeer goede benadering.
Boven L/2 lijkt de grafiek op een logaritmische functie. Dat is niet exact zo, maar alweer een zeer goede benadering van een logaritmische functie.

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3911
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Duur exponentiele fase bij logistische groei

Bericht door arie » 28 mar 2014, 19:55

op=op schreef:Boven L/2 lijkt de grafiek op een logaritmische functie. Dat is niet exact zo, maar alweer een zeer goede benadering van een logaritmische functie.
Dit klopt niet:
- de logaritmische functie gaat naar oneindig (voor x naar oneindig)
- de logistische functie is naar boven gebonden (komt niet boven een maximum waarde voor x naar oneindig)
Los gezegd is de rechter helft een soort omgekeerd exponentieel verval.

Als we de basale logistische functie bekijken (zonder verschuivingen / vermenigvuldigen) hebben we het over deze functie:



met grafiek (gelinked vanaf http://en.wikipedia.org/wiki/Logistic_function):

Afbeelding

Deze functie is puntsymmetrisch om (0, 0.5):
f(-x) = 1 - f(x)
Bewijs:


In feite is de logistische functie dus een functie die bestaat uit 2 helften die exact elkaars (punt-)spiegelbeeld zijn. Het linker deel komt goed overeen met exponentiele groei, het rechter deel met exponentiele afname.
Het spiegelpunt ligt precies tussen de minimum en maximum (limiet-)waarde.

Gebruikersavatar
op=op
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1087
Lid geworden op: 23 apr 2010, 18:11

Re: Duur exponentiele fase bij logistische groei

Bericht door op=op » 29 mar 2014, 09:02

klopt, logaritmisch was niet de juiste benaming.

Winter
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 6
Lid geworden op: 09 jun 2013, 14:55

Re: Duur exponentiele fase bij logistische groei

Bericht door Winter » 16 apr 2014, 12:19

Bedankt
Waarom moet je 1 - f(x) gebruiken, vanwaar die 1?

Mvg

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Duur exponentiele fase bij logistische groei

Bericht door SafeX » 16 apr 2014, 14:04

Winter schreef:Waarom moet je 1 - f(x) gebruiken, vanwaar die 1?
Kijk naar de grafiek! Post van arie.

Plaats reactie