Kromtestraal ellips

Integraalrekening, afgeleiden, rijen, convergentie & divergentie van reeksen, meervoudige integratie.
nielzs
Vast lid
Vast lid
Berichten: 27
Lid geworden op: 09 jul 2014, 11:18

Kromtestraal ellips

Bericht door nielzs » 09 jul 2014, 11:30

Ik loop vast bij de berekening van de kromtestraal van de ellips, gegeven door de parametervoorstelling:

x = a cos t

y = b sin t

Voorlopige uitwerking:

De kromtestraal r wordt gegeven door:

r = ((1+y'²)^3/2) / y''

y' en y'' heb ik reeds berekend:

y' = -a/b *tan t

y'' = -1 / (b*sin t *cos²t)

berekening van (1+y'²)

y'² = (a²*tan²t)/b²

=> 1+y'² =1+((a²*tan²t)/b²) = (b²+a²*tan²t)/b²
=> (1+y'²)^3/2 = ((b²+a²*tan²t)^3/2 ) / b³

Ik zou niet direct weten hoe verder te komen met de uitwerking van de teller. Iemand hulp?

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14249
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Kromtestraal ellips

Bericht door SafeX » 09 jul 2014, 13:31

nielzs schreef: y' = -a/b *tan t
Wat bedoel je hier? Staat b*tan(t) in de noemer? Zo ja, dan heb je dat niet goed genoteerd ...

Bedenk verder dat y'' niet betekent:



maar:


nielzs
Vast lid
Vast lid
Berichten: 27
Lid geworden op: 09 jul 2014, 11:18

Re: Kromtestraal ellips

Bericht door nielzs » 09 jul 2014, 15:06

Ik zie dat er al een fout in de eerste afgeleide is geslopen. Mijn excuses hiervoor. De uitdrukking voor de eerste afgeleide zou de volgende moeten zijn:

y' = - b /(a*tan t)

Wat bedoel je precies met de laatste opmerking? Voor de berekening van y'' ben ik uitgegaan van de uitdrukking:

y'' = (dy'/dt) / (dx/dt)

Voor dy'/dt bekom ik:

b/(a*sin²t)

aangezien dx/dt = - a.sin t geldt nu voor y'':

y'' = -b/(a²*sin²t)

Probleem blijft nu de berekening van de term (1 + y'²)^3/2

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14249
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Kromtestraal ellips

Bericht door SafeX » 09 jul 2014, 15:33

y' is nu goed!
nielzs schreef: y'' = (dy'/dt) / (dx/dt)
is niet goed!


nielzs
Vast lid
Vast lid
Berichten: 27
Lid geworden op: 09 jul 2014, 11:18

Re: Kromtestraal ellips

Bericht door nielzs » 09 jul 2014, 22:03

Dit vind ik een beetje vreemd. Volgens de door u vermelde formule zou dit betekenen dat ik moet afleiden naar x, terwijl y wordt weergegeven in functie van t. In mijn cursus vindt ik volgende formule terug bij de bepaling van de tweede afgeleide bij parameterkrommen:

d²y/dt² = (dy'/dt)/(dx/dt)

Klopt deze formule dan niet?

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14249
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Kromtestraal ellips

Bericht door SafeX » 10 jul 2014, 09:46

nielzs schreef: d²y/dt² = (dy'/dt)/(dx/dt)
Klopt deze formule dan niet?
Deze formule klopt (m'n eerste reactie klopt niet), mits y' een functie van t is.

nielzs
Vast lid
Vast lid
Berichten: 27
Lid geworden op: 09 jul 2014, 11:18

Re: Kromtestraal ellips

Bericht door nielzs » 10 jul 2014, 22:34

Oké. Kunt u mij verder helpen met de uitwerking van de term (1+y'²)^3/2 ? Dit is immers mijn grootste probleem.

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14249
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Kromtestraal ellips

Bericht door SafeX » 11 jul 2014, 09:17

nielzs schreef:y'' = -b/(a²*sin²t)

Probleem blijft nu de berekening van de term (1 + y'²)^3/2


Wat is je probleem met: (1 + y'²)^3/2

Vul eerst eens in ...

nielzs
Vast lid
Vast lid
Berichten: 27
Lid geworden op: 09 jul 2014, 11:18

Re: Kromtestraal ellips

Bericht door nielzs » 12 jul 2014, 23:00

Voor de uitwerking van 1+y'² bekom ik:


1+(-b/(a*tan t))² = 1+ (b²/(a²*tan²t)) = (a²*tan²t+b²)/(a²*tan²t)

=> (1+y'²)^3/2 = ((a²*tan²t + b²)^3/2) /(a³*tan³t)

Ik zou niet direct weten hoe het verder moet.

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14249
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Kromtestraal ellips

Bericht door SafeX » 13 jul 2014, 12:50

nielzs schreef: => (1+y'²)^3/2 = ((a²*tan²t + b²)^3/2) /(a³*tan³t)

Ik zou niet direct weten hoe het verder moet.
Waar wil je naar toe werken? Nu kan je t=pi/2 niet substitueren ...

nielzs
Vast lid
Vast lid
Berichten: 27
Lid geworden op: 09 jul 2014, 11:18

Re: Kromtestraal ellips

Bericht door nielzs » 14 jul 2014, 13:44

Aangezien ik de kromtestraal wil berekenen, en vermits y'' wordt gegeven onder de vorm van:

y'' = - b /(a².sint²t)

zou het handig zijn indien voor (1+y'²)^3/2 ook een uitdrukking verschijnt met in de noemer iets van de vorm a²*sin²t
SafeX schreef:
nielzs schreef: => (1+y'²)^3/2 = ((a²*tan²t + b²)^3/2) /(a³*tan³t)

Ik zou niet direct weten hoe het verder moet.
Waar wil je naar toe werken? Nu kan je t=pi/2 niet substitueren ...

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14249
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Kromtestraal ellips

Bericht door SafeX » 14 jul 2014, 18:49

nielzs schreef: 1+(-b/(a*tan t))² = 1+ (b²/(a²*tan²t)) = (a²*tan²t+b²)/(a²*tan²t)
Werk de tan weg door teller en noemer te vermenigvuldigen met ...

Probeer daarna verder te gaan met r=...

nielzs
Vast lid
Vast lid
Berichten: 27
Lid geworden op: 09 jul 2014, 11:18

Re: Kromtestraal ellips

Bericht door nielzs » 14 jul 2014, 21:50

Ik ben ondertussen al een stuk verder geraakt. Ik heb verder gewerkt door in teller en noemer tan²t te vervangen door sin²t/cos²t. Na enkele tussenstappen bekom ik als uitdrukking voor de kromtestraal:

r = ((a².sin²t + b².cos²t)^3/2) / b

Is dit correct?

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14249
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Kromtestraal ellips

Bericht door SafeX » 14 jul 2014, 21:56

nielzs schreef:Ik ben ondertussen al een stuk verder geraakt. Ik heb verder gewerkt door in teller en noemer tan²t te vervangen door sin²t/cos²t. Na enkele tussenstappen bekom ik als uitdrukking voor de kromtestraal:

r = ((a².sin²t + b².cos²t)^3/2) / b

Is dit correct?
Je moet krijgen, ga dat na:

r = (a².sin²t + b².cos²t)^3/2 /(a b)

Ik neem aan dat je de regelmaat in de formule ziet, ga (bv) na wat je krijgt bij t=0 en t=pi/2 ...
Neem ook a=b

nielzs
Vast lid
Vast lid
Berichten: 27
Lid geworden op: 09 jul 2014, 11:18

Re: Kromtestraal ellips

Bericht door nielzs » 15 jul 2014, 21:58

Dit antwoord heb ik nu inderdaad bekomen. Heel erg bedankt voor je hulp, SafeX. Het heeft me zeker geholpen in de voorbereiding voor het herexamen wiskunde die ik in augustus zal afleggen.

Plaats reactie