Oppervlakte onder kromme gegeven door parametervoorstelling

[nielzs]

Ik loop opnieuw vast bij een opgave over integraalrekening. Dit is de opgave:

Bereken de voor de ellips gegeven door de parametervergelijking:

x = a cos t
y = b sin t

Oplossing:

De oppervlakte onder een parameterkromme bereken ik met de integraal:



Met het opstellen van de integraal heb ik geen problemen.Ik bereken de oppervlakte van een vierde van de ellips (met name het deel dat overeenkomt met het 1e kwadrant) en vermenigvuldig met 4. De integraal wordt dan:



Hoe dienen de grenzen nu berekenend te worden?

[arno]

Stel eens dat je in plaats van een ellips de oppervlakte van een cirkel zou moeten berekenen door uit te gaan van een kwart cirkel in het eerste kwadrant, wat zou je dan voor grenzen kieze? Hint: bedenk dat de volledige omtrek van een cirkel met straal r gelijk is aan 2πr.

[nielzs]

Dan zou ik moeten integreren tussen 0 en pi/2. Probleem is echter dat dit af te lezen valt uit de goniometrische cirkel. Ik zou de grenzen graag kunnen berekenen (zonder aflezen).

[arno]

Dan zou ik moeten integreren tussen 0 en pi/2. Probleem is echter dat dit af te lezen valt uit de goniometrische cirkel. Ik zou de grenzen graag kunnen berekenen (zonder aflezen).

Bedenk dat een cirkel niets anders is dan een ellips waarvbij beide assen even lang zijn. Lukt het je nu om de gevraagde oppervlakte van de ellips af te leiden?

[nielzs]

Oké zo geraak ik er aan uit. Bij cirkels is het vrij evident om de grenzen te vinden. Toch is dit niet bij alle parameterkrommen het geval. Indien bijvoorbeeld de kromme genomen wordt met als parametervergelijking:

x = t³-3t
y = t²+t+1

Hoe moeten de grenzen in dergelijk geval bepaald worden indien ik de oppervlakte binnen de lus wens te berekenen?

[SafeX]

Wat heb je al onderzocht ...

[nielzs]

Eerlijk gezegd weet ik niet echt hoe ik hiermee aan de slag moet.

[nielzs]

De integraal kan ik wel berekenen:

x = t³-3t
y = t²+t+1

=> x' = 3t²-3



Hoe moet het verder? Hoe vallen de grenzen t1 en t2 te berekenen? Is dit simpelweg door het oplossen van de vergelijking t³-3t = 0 ?

[SafeX]

Wat stelt deze integraal voor, en hoe kom je daaraan?

Natuurlijk is alles van de kromme bekend door x=f(t) en y=g(t) voor alle reële t? Eens?

Ik neem aan dat je de grafiek hebt ...
Nu zie ik dat er een interval van x is [-2,2] waar 3 ptn van de kromme in liggen, kan je dat verklaren?
Heb je daar wat aan ...