Integraal worteluitdrukking t*sqrt(4+9t^2)

[Mark Steffens]

Hallo!

Ik kom niet uit de integraalberekening van de worteluitdrukking:

t*sqrt(4+9t^2) (van t=0 tot t=10)

Heb al de substitutiemethode geprobeerd en ook partiële integratie, maar alles zonder resultaat. Ook literatuur en medestudenten kunnen mij helaas niet helpen.

Ik heb al een poosje geen integraalberekeningen uitgevoerd, misschien zie ik iets over het hoofd. Ik heb de uitdrukking 'verenkeld' naar sqrt(4t^2+9t^4), maar ook dan kom ik er niet uit.

Wie kan mij helpen? Alvast bedankt!

[arie]

Hoe ver kom je met de substitutie u = t^2 ?
(in de oorspronkelijke integraal)

[SafeX]

Wat heb je zelf al geprobeerd ...
Haal 2 buiten de wortel en stel (3/2 t)^2=u

[Mark Steffens]

@Arie:

Als ik je goed begrijp zou ik de volgende stappen moeten doen:

int t*sqrt(4+9t^2) dt
= int sqrt(4+9t^2)*t dt
= int sqrt(4+9u)*(1/2) du (u = t^2 -> du = 2t -> t dt = (1/2) du)
= (1/2)*int sqrt(4+9u) du
= (1/2)*int sqrt(4+9t^2) dt

Hieruit volgt dan:

(1/2)*( 2*(4+9t^2)^(3/2) / 3 )

Maar dit kan volgens mij niet kloppen.

[Mark Steffens]

@SafeX:

Ik begrijp niet helemaal waar je naar toe wilt. Ik heb een aantal variaties gemaakt van de vergelijking en ben daarvandaan gaan werken:

int t*sqrt(4+9t^2) dt
= int t*sqrt(2^2+3^2*t^2) dt
= int t*(4+9t^2)^(1/2) dt
= int sqrt(t^2*(4+9t^2) dt
= int sqrt(4t^2+9t^4) dt
= int (4t^2+9t^2)^(1/2) dt

De resulterende integralen lijken niet echt op wat het antwoord zou moeten zijn, nl.

(4+9t^2)^(3/2) / 27

Maar hoe ik tot dit antwoord moet komen is mij nog steeds een raadsel. Vooral de noemer is een probleem. Als ik de uitdrukking deriveer kom ik wel degelijk op de oorspronkelijke uitdrukking uit. Maar het 'omgekeerde' werken brengt mij niet tot nieuwe inzichten, zeg maar.

Hoop dat het leesbaar is, heb een paar keer de Equation Editor geprobeerd maar krijg de 'nette' versie niet in deze post geplakt.

[SafeX]

@SafeX:

Ik begrijp niet helemaal waar je naar toe wilt. Ik heb een aantal variaties gemaakt van de vergelijking en ben daarvandaan gaan werken:

int t*sqrt(4+9t^2) dt

bv:



Eens?
kan je nu de voorgestelde substitutie uitvoeren ...

[Mark Steffens]

@SafeX:

Eens.

Okee, ik schrijf uit wat ik nu heb berekend:

u = ((3/2)*t)^2 = (9/4)*t^2
du = (18/4)*t dt

int 2*t*sqrt(1+((3/2)*t)^2) dt
= (8/18)*int sqrt(1+u) du
= (8/18)*int sqrt(1+((3/2)*t)^2) dt
= (8/18)*( (1+((3/2*t)^2)^(3/2) / (3/2) )
= (16/54) * (1+((3/2*t)^2)^(3/2)

Ik heb even 'voor het gemak' wat vereenvoudigingen weggelaten, maar het principe is wel duidelijk denk ik. Als ik dit toepas op het domein [0, 10] krijg ik inderdaad (nagenoeg) het antwoord wat ik zou moeten hebben.

Is dit wat je bedoelde, SafeX?

Ben ook erg benieuwd naar hoe je de formules zo netjes in je post krijgt. Is een stuk overzichtelijker.

[arie]

= (1/2)*int sqrt(4+9u) du
= (1/2)*int sqrt(4+9t^2) dt

Hier ga je terug naar t, maar dit is te vroeg.
Integreer dit eerst:
(1/2)*int sqrt(4+9u) du

PS:
vergeet hierbij die factor 9 niet.
via de manier van SafeX kom je in dat opzicht handiger uit.
(een derde mogelijkheid voor substitutie zou zijn v = 9t^2, met dv = 18t dt, maar dit vooralsnog terzijde)

detail:
(u = t^2 -> du = 2t dt -> t dt = (1/2) du)

[arie]

Ben ook erg benieuwd naar hoe je de formules zo netjes in je post krijgt. Is een stuk overzichtelijker.

Boven het tekstvak waarin je je berichten schrijft zitten een aantal knoppen, de meest rechtse daarvan is de "Equation Editor", daarmee kan je zonder veel moeite vergelijkingen opstellen.
Alternatief: handmatig LaTeX code invoeren.

In de berichten moeten formules gemarkeerd worden door:
[ formule] [ /formule]
of door
[ tex][ /tex]
haken (maar dan zonder spaties).

[SafeX]

@SafeX:

= (16/54) * (1+((3/2*t)^2)^(3/2)

Is dit wat je bedoelde, SafeX?

Goed gelukt!

Merk op:



Het valt me op dat je breuken niet vereenvoudigt ...

[Mark Steffens]

@Arie:

Dat met die factor 9 is waarschijnlijk mijn hoofdprobleem. Wat weer een gevolg is van mijn matige inzicht in integreren. Vind ik zelf dan.

Ik wil graag nog een keer door mijn berekeningen heen met jouw aanwijzingen, maar dit gaat vanavond niet meer lukken. Ook de dv = 18t mogelijkheid denk ik nog een keer te gaan proberen.

Ik had ook al een beetje gespeeld met de Equation Editor, maar wist niet dat de code most worden ingesloten met de headers welke je beschrijft. Het handmatig invoeren van LaTex code laat ik nog maar even voor wat het is.

Het detailfoutje was inderdaad een gevolg van te snel typen denk ik...

Dank voor je hulp tot zover!

[Mark Steffens]

@SafeX:

Moest er even goed voor gaan zitten maar het resultaat is er dan ook naar. Twijfelde wel een beetje omdat de numerieke berekening een klein verschil liet zien in resultaat tussen 'jouw' methode en het antwoord welke achterin het boek staat/ik elders vond op Internet. Maar dat is een bekend verschijnsel van computers welke met 'floating point numbers' werken.

Het vereenvoudigen van breuken doe ik normaliter wel, maar het avondeten stond op tafel en moeders de vrouw zat te wachten...

Hartstikke bedankt voor de hulp. Ik heb nog een paar gelijkende opgaven en misschien kan ik deze met mijn hernieuwde inzicht ook oplossen.

[SafeX]

@SafeX:

Twijfelde wel een beetje omdat de numerieke berekening een klein verschil liet zien in resultaat tussen 'jouw' methode en het antwoord welke achterin het boek staat/ik elders vond op Internet.

Ben hier wel benieuwd naar ...

Iig succes!

[Mark Steffens]

@SafeX:

Ik gebruik o.a. http://www.integral-calculator.com om mijn berekeningen te controleren of om me een beetje op weg te helpen. Of nog verder wanhopig...

Deze website komt met



als onbepaalde integraal waaruit



als antwoord komt als ik integreer tussen 0 en 10.

Het wiskundeboek wat ik gebruik geeft



als antwoord.

Het resultaat van de methode welke je zelf aanbeveelde geeft 1006.674 als resultaat.

Dit bedoelde ik met het verschil tussen de numerieke berekeningen.

[SafeX]

(2/3)^3(226^(3/2)-1)=1006,377772