Wiskundeforum

Goedemiddag!
En we zitten weer aan een heerlijk vraagstuk, waar ik niet uit kom. Ik heb nog niet veel, alleen de definities, dus ik zoek een hint of een beginnetje om zo verder te kunnen. Ik hoef geen uitwerking, maar als iemand mee kan denken, hoor ik het graag:

Laat A en B verzamelingen zijn en laat f: A --> B een functie zijn. Bewijs dat als f twee verschillende linksinverses heeft, dat deze geen rechtinverse heeft. Bewijs daarnaast dat als f twee verschillende rechtinverses heeft, deze geen linksinverse heeft.

Nu heb ik de definities
- De functie g is een rechtinsverse functie voor f als
- De functie g is een linksinsverse functie voor f als

Mijn probleem begint al: waarom zou het zo zijn dat als er twee verschillende rechtinverses zijn, er geen linksinverses zijn? Ik heb zo'n vermoeden dat dit te maken heeft met het feit dat er een inverse uniek is, als de inverse bestaat (en g is de inverse als g een linksinverse en g een rechtinverse is).

Ik weet alleen dus niet goed waar ik moet beginnen. Waarschijnlijk omdat ik niet goed weet waar ik heen moet.

Iemand enig idee?

Wil iemand kijken of ik op deze manier op de goede weg bent? Ik moet de andere optie ook nog doen: twee rechtinverses, dan geen linksinverse.
(omdat de codes net iets anders werken, is overtypen voor mij iets teveel werk,dus even een printscreen)

De opgave valt uiteen in 2 delen:
Gegeven: Laat A en B verzamelingen zijn en laat f: A --> B een functie zijn.

[1] Bewijs dat als f twee verschillende linksinverses heeft, dat deze geen rechtinverse heeft.

Het eerste deel van je bewijs is correct en daarmee ben je ook al klaar met dit bewijs.
Immers: te bewijzen:



is volgens logische omkering identiek aan: te bewijzen:



ofwel: te bewijzen:



Dit heb je correct bewezen.
Maar als er 2 rechter inversen zijn, dan is er ook 1 rechter inverse en geldt bovenstaande nog steeds.


[2] Bewijs daarnaast dat als f twee verschillende rechtinverses heeft, deze geen linksinverse heeft.

Hier bedoelen ze: te bewijzen:



en dit bewijs verloopt vergelijkbaar met bovenstaande.

Bedankt Arie,
Ik heb inderdaad voor de twee rechtsinverse nog een ander bewijs uitgewerkt, vergelijkbaar met bovenstaand bewijs. Maar dat leek me nogal onnodig hier te posten. Ik had alleen al mijn twijfels over dit eerste
gedeelte, dus als dit de geode weg is, zal het tweede gedeelte dat ook zijn.

Maar wat ik begrijp, is dat ik dus eigenlijk het stuk van 1 rechtsinverse kan weghalen? En alleen het stukje van 2 rechtsinverse kan gebruiken om het tegendeel te bewijzen? Want het is inderdaad zo, dat als er twee rechtsinverses zijn, er ook een rechtsinverse is. Dus eigenlijk is dat stukje dan overbodig?

Bedankt voor het meedenken.

Met andere woorden:

Je eerste bewijs is correct:
k = ... = g
k = ... = h
Dus als er een k is, dan is g = h

Evenzo voor het tweede bewijs: als







dan is





Losjes gezegd: als er zo'n g bestaat, dan moet k = m zijn.
En dit moesten we bewijzen.

Enorm bedankt!

Ibrink schreef: Laat A en B verzamelingen zijn en laat f: A --> B een functie zijn. Bewijs dat als f twee verschillende linksinverses heeft, dat deze geen rechtinverse heeft. Bewijs daarnaast dat als f twee verschillende rechtinverses heeft, deze geen linksinverse heeft.

Nu heb ik de definities
- De functie g is een rechtinsverse functie voor f als
- De functie g is een linksinsverse functie voor f als

Heb je bij deze stof ook stellingen gezien ...

Jep, dat als g de rechtinverse van f is en h de linksinverse, dat dan h=g
En dat de inverse uniek is

Bv ook de stelling:

Een afbeelding f: U -> V (U niet leeg) is injectief, desd als f een linksinverse h heeft.

Nee, die komen de paragraaf erna pas Dus die mag ik hier nog niet gebruiken.

Welk boek gebruik je?
Het blijft vreemd dat je deze stellingen na de inverse krijgt ...

Proofs and fundamentals, a first course in abstract mathematics. Ethan D. Bloch

Ze leren inderdaad eerst wat een linksinverse is en een rechtsinverse en daarna een stuk over surjectiviteit en injectiviteit en daarna koppelen ze het.