differentieren van functie met kettingregel

Integraalrekening, afgeleiden, rijen, convergentie & divergentie van reeksen, meervoudige integratie.
Plaats reactie
Roy8888
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 701
Lid geworden op: 24 aug 2011, 21:36

differentieren van functie met kettingregel

Bericht door Roy8888 » 05 okt 2014, 19:09

De hoogte van een driehoek neemt toe met een snelheid van 1 cm/min. De oppervlakte neemt toe met een snelheid van . Met welke snelheid neemt de basis toe als de hoogte 10 cm is, en de oppervlakte ?

Ik heb als functie het volgende opgesteld. A = 0.5xy, waarin y de hoogte is, A het oppervlak en x de basis van de driehoek.
Omdat ze hier een snelheid vragen op een bepaald punt/tijdstip moet deze functie gedifferentieerd worden naar t en opgelost worden voor dx/dt. Ik heb dat als volgt gedaan.



Ik heb het zo gedaan omdat ik de rechter termen niet zomaar naar t kan differentieren. A is een functie van x en y, en x en y zijn functies van de tijd. Daarom mag je volgens de ketting regel schrijven en voor y geldt dan

klopt deze redenering?

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3911
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: differentieren van functie met kettingregel

Bericht door arie » 06 okt 2014, 16:31

Oppervlak, basis en hoogte veranderen als functie van tijd, waarbij blijft gelden:



Voor de snelheden, dat zijn afgeleiden naar tijd, geldt dus:



Kom je nu verder?

Roy8888
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 701
Lid geworden op: 24 aug 2011, 21:36

Re: differentieren van functie met kettingregel

Bericht door Roy8888 » 06 okt 2014, 18:17

Maar het probleem is dan dat je rechts niet rechtstreeks kunt differentieren naar de tijd. En ik mijn boek doen ze het dan via de kettingregel. Maar ik snap niet goed hoe je de kettingregel hier gebruikt om te differentieren naar de tijd.

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3911
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: differentieren van functie met kettingregel

Bericht door arie » 06 okt 2014, 18:51

Rechts heeft de vorm



Met welke regel differentieer je het product van 2 functies?

Hoe gaat dat er dus uitzien voor


Roy8888
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 701
Lid geworden op: 24 aug 2011, 21:36

Re: differentieren van functie met kettingregel

Bericht door Roy8888 » 06 okt 2014, 19:05

Met de productregel. Dat wordt dan;


arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3911
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: differentieren van functie met kettingregel

Bericht door arie » 06 okt 2014, 19:13

Klopt, we hebben nu:




Voor ons tijdstip t:

- is de snelheid van verandering van oppervlak =

- is de snelheid van verandering van basis =

- is de snelheid van verandering van hoogte =

- het huidige oppervlak = A(t)

- de huidige basis = b(t)

- de huidige hoogte = h(t)

Heb je nu voldoende gegevens om de snelheid van verandering van basis te berekenen?

Roy8888
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 701
Lid geworden op: 24 aug 2011, 21:36

Re: differentieren van functie met kettingregel

Bericht door Roy8888 » 06 okt 2014, 19:32

Deze opgave is nu inderdaad op te lossen. Maar in mijn boek hebben ze het steeds over het gebruik van de kettingregel bij dit soort problemen. Maar die zie ik hier nergens terugkomen. Ander voorbeeld;

Het volume van een ballon neemt toe met 100 cm^3/s. Hoe snel neemt de radius toe als deze 50 cm is. Als eerste stel je dan een verband op tussen volume en radius.

V = (4/3)pi * r^3

Links en rechts moet je dan differentieren naar de tijd. Maar rechts kun je nu toch niet rechtstreeks differentieren naar de tijd of wel?

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3911
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: differentieren van functie met kettingregel

Bericht door arie » 06 okt 2014, 19:44

Dat kan wel.

We hebben in dit geval:



want V verandert als functie van tijd en r verandert als een functie van tijd.

We krijgen nu omdat bovenstaande gelijkheid geldt:



ofwel:



Nu hebben we rechts wel de kettingregel nodig.

Hoe ver kom je hier mee?


PS: vergelijkbaar met de vorige opgave:
De snelheid waarmee de straal verandert is

Roy8888
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 701
Lid geworden op: 24 aug 2011, 21:36

Re: differentieren van functie met kettingregel

Bericht door Roy8888 » 06 okt 2014, 20:01

Dat is nu net het probleem. Ikzie niet hoe je hier de kettingregel toepast

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3911
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: differentieren van functie met kettingregel

Bericht door arie » 06 okt 2014, 20:12

We hebben hier de afgeleide nodig van (r(t))^3 naar t:



Vergelijk dit eens met deze afgeleide:



Lukt het je om deze afgeleide te vinden?


PS: we zoeken nu als voorbeeld dus eerst de afgeleide van deze functie


Roy8888
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 701
Lid geworden op: 24 aug 2011, 21:36

Re: differentieren van functie met kettingregel

Bericht door Roy8888 » 06 okt 2014, 20:35

Dat wordt dan

=

Dit is voor mij iets logischer dan hoe het boek het doet. Daar zeggen ze namelijk dit.

Dan differentieren ze de volumefunctie eerst naar r en dan maal dr/dt. De enige gedachte hierachter die ik kan bedenken is dat V een functie is van de tijd, maar ook van de straal, en de straal is een functie van de tijd. dus dat het een soort samengestelde functie is waardoor je de kettingregel op deze manier kan gebruiken.

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3911
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: differentieren van functie met kettingregel

Bericht door arie » 06 okt 2014, 20:59

Klopt.

Maar wat het boek doet is in feite hetzelfde: eerst schrijven ze V als functie van r:




waardoor



en vervolgens zien ze V en r als functies van tijd t, waarbij via de kettingregel:



en dit is precies wat we hierboven ook gevonden hebben

Roy8888
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 701
Lid geworden op: 24 aug 2011, 21:36

Re: differentieren van functie met kettingregel

Bericht door Roy8888 » 06 okt 2014, 21:01

Dan is het me nu duidelijk. Bedankt voor je uitleg!

Plaats reactie