Som met machten splitsen

Ilona · Bericht door **Ilona** » 14 dec 2014, 17:26

Geen idee hoe ik het moet noemen, maar ik kom er niet uit.

Met inductie moet ik bewijzen dat zou gelden, met $a=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ en $b=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ , voor alle n geldt dat $a^n+b^n$ een geheel getal is.

Prima, dat lukt, kan het bewijzen voor n=1 en dan kan ik als inductiehypothese aannemen dat het dus voor een zekere n geldt dat $a^n+b^n$ een geheel getal is.

Dan de inductiestap. En ik moet das bewijzen dat $a^{n+1}+b^{n+1}$ een geheel getal is. Maar dan wil ik het dus opsplitsen, omdat ik iets weet over $a^n+b^n$ .

Maar... hoe doe ik dat? $x(a^n+b^n)= a^{n+1}+b^{n+1}$ en wat is dan die x?

Alvast bedankt!

Bericht door **SafeX** » 14 dec 2014, 19:37

Ik denk dat je nog niet op ab let ...
Wat wordt a^2 + b^2=(a+b)^2 - ...

$a^n+b^n=(a+b)^n- ...$

Als a+b geheel is wat is dan (a+b)^n ...

Ilona · Bericht door **Ilona** » 15 dec 2014, 12:06

SafeX schreef:Ik denk dat je nog niet op ab let ...
Wat wordt a^2 + b^2=(a+b)^2 - ...

$a^n+b^n=(a+b)^n- ...$

Als a+b geheel is wat is dan (a+b)^n ...

$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$

Eerlijk weet ik je tweede vraag niet zo goed. Ik heb ergens gehad dat je het kunt schrijven met $\sum \binom{n}{b}$ maar dat zou ik even moeten gaan uitzoeken want ik heb hier zo mijn boek niet bij de hand.

De derde: als a+b een geheel getal is, dan is (a+b)^n het product van alleen maar gehele getallen en dus ook een geheel getal.

#Edit: binomium lukt me niet in code te zetten, helaas. Geen idee waarom 'ie het niet doet.

Bericht door **SafeX** » 15 dec 2014, 12:09

(a+b)^n met een natuurlijk getal n is het binomium van Newton ... , bekend?

Ilona · Bericht door **Ilona** » 15 dec 2014, 12:26

Oja, nu weet ik het weer!

Omdat het me niet lukt dat binomium hier in te krijgen, dan maar even een plaatje van wikipedia

Bericht door **David** » 16 dec 2014, 02:58

Code: Selecteer alles

(x+y)^n = \sum_{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k} y^k

$(x+y)^n = \sum_{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k} y^k$

Bericht door **SafeX** » 16 dec 2014, 09:49

Ilona schreef:Oja, nu weet ik het weer!

Omdat het me niet lukt dat binomium hier in te krijgen, dan maar even een plaatje van wikipedia

Ok!

Kan je nu schrijven:

$a^3+b^3=(a+b)^3-...$

eveneens:

$a^4+b^4=(a+b)^4-...$

Kan je dit generaliseren ...

CCM.Mank · Bericht door **CCM.Mank** » 21 feb 2020, 15:01

a^(n+1) + b^(n+1) = (a^n + b^n) * (a + b) – a * b * (a^(n–1) + b^(n–1))

(a^n + b^n), (a + b) en a * b zijn een hele getallen

a^(n+1) + b^(n+1) is dus een heel getal als a^(n–1) + b^(n–1) een heel getal is, dus als
a^(n+1 –2*x) + b^(n+1 –2*x) een heel getal is.

Dus als a + b èn a^2 + b^2 hele getallen zijn is a^(n+1) + b^(n+1) dat ook.

Bericht door **SafeX** » 22 apr 2020, 14:57

CCM.Mank schreef: ↑
21 feb 2020, 15:01
a^(n+1) + b^(n+1) = (a^n + b^n) * (a + b) – a * b * (a^(n–1) + b^(n–1))

(a^n + b^n), (a + b) en a * b zijn een gehele getallen

a^(n+1) + b^(n+1) is dus een heel getal als a^(n–1) + b^(n–1) een heel getal is, dus als
a^(n+1 –2*x) + b^(n+1 –2*x) een heel getal is.

Dus als a + b èn a^2 + b^2 hele getallen zijn is a^(n+1) + b^(n+1) dat ook.

Eigenlijk moet het nog wat netter, maar ik vind dit wel goed zo.

Wiskundeforum

Som met machten splitsen

Som met machten splitsen

Re: Som met machten splitsen

Re: Som met machten splitsen

Re: Som met machten splitsen

Re: Som met machten splitsen

Re: Som met machten splitsen

Re: Som met machten splitsen

Re: Som met machten splitsen

Re: Som met machten splitsen