Pagina 1 van 1

Som met machten splitsen

Geplaatst: 14 dec 2014, 17:26
door Ilona
Geen idee hoe ik het moet noemen, maar ik kom er niet uit.

Met inductie moet ik bewijzen dat zou gelden, met en , voor alle n geldt dat een geheel getal is.

Prima, dat lukt, kan het bewijzen voor n=1 en dan kan ik als inductiehypothese aannemen dat het dus voor een zekere n geldt dat een geheel getal is.

Dan de inductiestap. En ik moet das bewijzen dat een geheel getal is. Maar dan wil ik het dus opsplitsen, omdat ik iets weet over .

Maar... hoe doe ik dat? en wat is dan die x?

Alvast bedankt!

Re: Som met machten splitsen

Geplaatst: 14 dec 2014, 19:37
door SafeX
Ik denk dat je nog niet op ab let ...
Wat wordt a^2 + b^2=(a+b)^2 - ...



Als a+b geheel is wat is dan (a+b)^n ...

Re: Som met machten splitsen

Geplaatst: 15 dec 2014, 12:06
door Ilona
SafeX schreef:Ik denk dat je nog niet op ab let ...
Wat wordt a^2 + b^2=(a+b)^2 - ...



Als a+b geheel is wat is dan (a+b)^n ...


Eerlijk weet ik je tweede vraag niet zo goed. Ik heb ergens gehad dat je het kunt schrijven met maar dat zou ik even moeten gaan uitzoeken want ik heb hier zo mijn boek niet bij de hand.

De derde: als a+b een geheel getal is, dan is (a+b)^n het product van alleen maar gehele getallen en dus ook een geheel getal.


#Edit: binomium lukt me niet in code te zetten, helaas. Geen idee waarom 'ie het niet doet.

Re: Som met machten splitsen

Geplaatst: 15 dec 2014, 12:09
door SafeX
(a+b)^n met een natuurlijk getal n is het binomium van Newton ... , bekend?

Re: Som met machten splitsen

Geplaatst: 15 dec 2014, 12:26
door Ilona
Oja, nu weet ik het weer!

Omdat het me niet lukt dat binomium hier in te krijgen, dan maar even een plaatje van wikipedia ;)
Afbeelding

Re: Som met machten splitsen

Geplaatst: 16 dec 2014, 02:58
door David

Code: Selecteer alles

(x+y)^n = \sum_{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k} y^k

Re: Som met machten splitsen

Geplaatst: 16 dec 2014, 09:49
door SafeX
Ilona schreef:Oja, nu weet ik het weer!

Omdat het me niet lukt dat binomium hier in te krijgen, dan maar even een plaatje van wikipedia ;)
Afbeelding
Ok!

Kan je nu schrijven:



eveneens:



Kan je dit generaliseren ...

Re: Som met machten splitsen

Geplaatst: 21 feb 2020, 15:01
door CCM.Mank
a^(n+1) + b^(n+1) = (a^n + b^n) * (a + b) – a * b * (a^(n–1) + b^(n–1))

(a^n + b^n), (a + b) en a * b zijn een hele getallen

a^(n+1) + b^(n+1) is dus een heel getal als a^(n–1) + b^(n–1) een heel getal is, dus als
a^(n+1 –2*x) + b^(n+1 –2*x) een heel getal is.

Dus als a + b èn a^2 + b^2 hele getallen zijn is a^(n+1) + b^(n+1) dat ook.

Re: Som met machten splitsen

Geplaatst: 22 apr 2020, 14:57
door SafeX
CCM.Mank schreef:
21 feb 2020, 15:01
a^(n+1) + b^(n+1) = (a^n + b^n) * (a + b) – a * b * (a^(n–1) + b^(n–1))

(a^n + b^n), (a + b) en a * b zijn een gehele getallen

a^(n+1) + b^(n+1) is dus een heel getal als a^(n–1) + b^(n–1) een heel getal is, dus als
a^(n+1 –2*x) + b^(n+1 –2*x) een heel getal is.

Dus als a + b èn a^2 + b^2 hele getallen zijn is a^(n+1) + b^(n+1) dat ook.
Eigenlijk moet het nog wat netter, maar ik vind dit wel goed zo.