Natuurlijke logaritmen

JufInOpleiding · Bericht door **JufInOpleiding** » 21 jan 2015, 20:47

Ik ben me aan het voorbereiden voor een tentamen van "analyse differentiëren en integreren". Alleen ik snap niet veel van logaritmen. Vooral omdat er een verschil is met log en ln. Ik heb begrepen dat ln de logaritme is van e. Maar wat is e!? Aangezien ik altijd het hoe, wat en waarom wil weten, wil ik weten wat het nut is van ln.
Ik heb het veel gebruikt in berekeningen zoals ʃ1/2 / (x+1) = 1/2 ln|x-1|.
Toch wil ik graag snappen waar dat precies vandaan komt.

Alvast bedankt!

Bericht door **David** » 22 jan 2015, 00:19

e is een getal, net als 10 en sqrt(2) en pi. log kan je gebruiken om de vergelijking 10^x = b op te lossen; x = log(b). log heeft grondtal 10. ln kan je gebruiken om e^x = b op te lossen; x = ln(b). ln heeft grondtal e. In beide voorbeelden geldt b > 0. Geeft dat een idee?

(Ik zal je dubbele post verwijderen.)

Bericht door **arie** » 22 jan 2015, 08:55

Nog wat aanvullende info m.b.t. de vraag:

Waarom e = 2.7182....?

e is zodanig dat (de afgeleide van e^x) = e^x is:

$\frac{d}{dx} \; e^x \;=\; e^x$

Definieer

$e^x \;=\; \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \;=\; 1 \;+\; x \;+\; \frac{x^2}{2!} \;+\;\frac{x^3}{3!}\;+\;\frac{x^4}{4!}\;+\; ...$

en bepaal daarvan eens de afgeleide:

$\frac{d}{dx}\; \left(\; 1 \;+\; x \;+\; \frac{x^2}{2!} \;+\;\frac{x^3}{3!}\;+\;\frac{x^4}{4!}\;+\; ...\; \right) \;=\; ...$

Neem nu x = 1 en benader e:

$e \;=\; e^1\; \approx\; 1 \;+\; 1 \;+\; \frac{1}{2}\;+\; \frac{1}{6}\;+\; \frac{1}{24}\;+\; \frac{1}{120}\;+\; \frac{1}{720} \;=\; ...$

Tenslotte is het te bewijzen dat e convergeert naar 2.71828...

Nu we dit weten kunnen we ook andere afgeleiden bepalen, bijvoorbeeld:

$\frac{d}{dx}\;10^x \;=\; \frac{d}{dx}\; \left(e^{ln(10)}\right)^x \;=\; \frac{d}{dx}\; e^{(ln(10)\cdot x)} \;=\; ...$

JufInOpleiding · Bericht door **JufInOpleiding** » 22 jan 2015, 14:38

Hi,

Bedankt. Ik begin het een beetje te begrijpen al blijft het nog een beetje abstract

Het principe van logaritmes heb ik nu wel door

Groetjes!

Bericht door **SafeX** » 22 jan 2015, 14:48

Hoe heb je logaritmen leren kennen ... , hoe zijn ze ingevoerd?
Hoe heb je de afgeleide leren bepalen ...

JufInOpleiding · Bericht door **JufInOpleiding** » 22 jan 2015, 15:13

SafeX schreef:Hoe heb je logaritmen leren kennen ... , hoe zijn ze ingevoerd?
Hoe heb je de afgeleide leren bepalen ...

Door ermee te werken, onbekenden uit te rekenen in exponenten, om te schrijven, grafieken te bekijken... De bewerkingen begin ik onder de knie te krijgen. Alleen het idee erachter blijft lastig om te bereiken.

Bericht door **SafeX** » 22 jan 2015, 15:46

Ja, dat betekent 'gewoon opgaven maken', maar waarom zijn logaritmen 'nodig' ...

En als je kennismaakt met bv:

$f(x)=\ ^2\log(x)$

Wat heeft dat dan te maken met:

$g(x)=2^x$

Wiskundeforum

Natuurlijke logaritmen

Natuurlijke logaritmen

Re: Natuurlijke logaritmen

Re: Natuurlijke logaritmen

Re: Natuurlijke logaritmen

Re: Natuurlijke logaritmen

Re: Natuurlijke logaritmen

Re: Natuurlijke logaritmen