examenopdracht

reinawesterdijk · Bericht door **reinawesterdijk** » 21 okt 2005, 13:41

Ok, ik zal het keurig netjes kort houden: ik heb een vraag over een examenopdracht die ik aan het oefenen ben.
De vraag is:

Fa(x) = (a*ln(x))/x

Neem a = 2. De lijn y = p snijdt de y-as in het punt A en de grafiek van F2 in de punten B en C zo dat AC = 2AB.
Bereken p.

Ik weet werkelijk niet hoe ik deze som moet oplossen, ik heb al een tekeningetje gemaakt en verschillende dingen geprobeerd maar ik kom er niet uit....

Wie kan mij helpen?

Alvast heel erg bedankt!
Groetjes,
REina

Bericht door **SafeX** » 30 dec 2005, 23:07

Een beetje laat, maar ben je er al uit Reina?
Anders ...

Sjoerd Job · Bericht door **Sjoerd Job** » 23 jan 2006, 20:28

We hebben de formule (Gebruik _ om een lager iets aan te geven, als in H_(2)O, Gebruik ^ om machten aan te geven )
F_a(x) = (a*ln(x))/x

De vraag zegt: Stel a op 2
F_2(x) = 2*ln(x)/x

y = p.

p = 2*ln(x)/x

Bij het plotten is duidelijk dat er alleen maar 2 oplossing zijn als p > 0, en dat er ook een maximumwaarde aan verbonden is

Wat we ook nog kunnen zeggen:
f(x) = f(2x)

We pakken wederom onze leuke formuletje erbij:
2 ln(x)/x = 2 ln(2x)/2x
Vereenvoudigen
2 ln(x)/x = ln(2x)/x
Beide kanten vermenigvuldigen met x
2 ln (x) = ln(2x)
ln x^2 = ln 2x
Dit kan alleen als
x^2 = 2x

Nu kunnen wij gaan oplossen

x^2 - 2x = 0
x(x-2) = 0
x = 0 of x = 2

Kijken welke waarden voldoen:
x = 0 valt af: We mogen niet delen door 0, en tevens mogen we ln 0 ook niet narekenen. Dus, is de enigste mogelijkheid x = 2

We gaan dit narekenen:

2 ln(2)/2 = 2 ln(4)/4
Beide doen we even snel met de rekenmachine, en zien we een gelijk antwoord

Nu moeten we de waarde p weten...

p = 2 ln (2)/2 = 2 ln(4)/4
p = ln(2) ~= 0.69315

Nu moet ik eerlijk zeggen dat ik fout begonnen ben met proberen te antwoorden. Eerst probeerde ik x uit te drukken in p, en kwam er achter dat dat mij niet zou lukken.

Na veel gepuzzel kwam ik op het idee: x_a = 0, x_c = 2*x_b... Toen ik op dat inzicht kwam, was het oplossen niet zo lastig meer. Het ging zelfs vrij vlot.

Bericht door **SafeX** » 01 mar 2006, 14:32

@Sjoerdjob

$\frac{\ln(5)}{5}\neq\frac{\ln(10)}{10}$

Alg:
$\frac{\ln(2x)}{2x}=\frac{\ln(2)+\ln(x)}{2x}\neq\frac{\ln(x)}{x}$

Sjoerd Job · Bericht door **Sjoerd Job** » 01 mar 2006, 19:27

SafeX schreef:@Sjoerdjob

$\frac{\ln(5)}{5}\neq\frac{\ln(10)}{10}$

Alg:
$\frac{\ln(2x)}{2x}=\frac{\ln(2)+\ln(x)}{2x}\neq\frac{\ln(x)}{x}$

Klopt, klopt heel zeker... Ik heb ook nooit anders beweert

Ik was dan ook bezig met het oplossen van:
$2 \cdot \frac{ln(x)}{x} = 2 \cdot \frac{ln(2x)}{2x}$

Ik zei dan ook, het bovenstaande, en niet
$2 \cdot \frac{ln(x)}{x} \equiv 2 \cdot \frac{ln(2x)}{2x}$

Het is net alsof ik had opgeschreven $x^2 = \sqrt{x}$ . Dit geld niet altijd, maar er zijn oplossingen (x = 1 of x = 0, toevallig).

Even ter verduidelijking.

Bericht door **SafeX** » 01 mar 2006, 19:58

OK!!! het antwoord p=ln(2) is correct!