Limiet naar 0 bepalen met Taylor polynomen

Integraalrekening, afgeleiden, rijen, convergentie & divergentie van reeksen, meervoudige integratie.
Plaats reactie
Roy8888
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 701
Lid geworden op: 24 aug 2011, 21:36

Limiet naar 0 bepalen met Taylor polynomen

Bericht door Roy8888 » 13 aug 2015, 10:35

Gisteren een toets wiskunde gehad waar de volgende vraag voorbij kwam,



Deze limiet heb ik bepaald door de termen sin(x) en ln(1+x^2) te benaderen met Taylor polynomen van de derde orde. dit geeft;





haakjes uitwerken en invullen van Taylor polynomen in de limiet geeft dan;



kan vereenvoudigd worden tot



De limiet is dan -1. Het antwoord is echter -3/2, wat doe ik hier fout?

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14247
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Limiet naar 0 bepalen met Taylor polynomen

Bericht door SafeX » 13 aug 2015, 11:48

Je moet één term meer nemen bij de reeks van ln ...
Bovendien is de orde van de (verwaarloosde) extra termen in teller en noemer groter of gelijk aan 6 ...

Roy8888
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 701
Lid geworden op: 24 aug 2011, 21:36

Re: Limiet naar 0 bepalen met Taylor polynomen

Bericht door Roy8888 » 13 aug 2015, 12:25

Dan komt er inderdaad -3/2 uit, maar hoe weet ik nu hoe ver ik moet ''Tayloren''? Want in principe kan ik zoals ik het nu heb gedaan ook de limiet vereenvoudigen, maar nu klopt het niet. Is het zo dat je orde van de Taylor polynomen minimaal gelijk moet zijn aan je kleinste orde van de overige termen?

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14247
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Limiet naar 0 bepalen met Taylor polynomen

Bericht door SafeX » 13 aug 2015, 13:29

Maar jouw orde klopte niet ...
Na deling door x^4 staat er in de teller -1-1/2.

Roy8888
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 701
Lid geworden op: 24 aug 2011, 21:36

Re: Limiet naar 0 bepalen met Taylor polynomen

Bericht door Roy8888 » 13 aug 2015, 13:33

Ik heb inderdaad gezien dat die orde niet klopt. Alleen weet ik nooit tot welke orde ik moet tayloren om te zorgen dat het wel klopt... Want ik zie namelijk niet waarom mijn eerste vorm niet klopt. Waaraan lan ik nu zien dat ik niet ver genoeg ben gegaan als ik het antwoord niet geweten had?

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14247
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Limiet naar 0 bepalen met Taylor polynomen

Bericht door SafeX » 13 aug 2015, 14:38

Wel, alle volgende termen moeten na deling 'verdwijnen' als je de limiet neemt ... , in dit geval x=0.
Neem dus altijd voldoende termen ...

Roy8888
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 701
Lid geworden op: 24 aug 2011, 21:36

Re: Limiet naar 0 bepalen met Taylor polynomen

Bericht door Roy8888 » 13 aug 2015, 17:41

Oke, maar ik begrijp nog steeds niet waarom mijn aanpak dan niet goed is. Dat het te weinig termen waren is duidelijk gebleken, maar bij mijn aanpak "verdwijnen" ook alle termen als ik de limiet neem en toch klopt het niet.

Is het soms zo dat vooraf niet precies te zeggen is hoeveel termen nodig zijn, maar dat er beter een paar extra termen genomen kunnen worden?

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14247
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Limiet naar 0 bepalen met Taylor polynomen

Bericht door SafeX » 13 aug 2015, 17:49

Roy8888 schreef:maar bij mijn aanpak "verdwijnen" ook alle termen als ik de limiet neem en toch klopt het niet.
Dat is dus niet waar ...

Is het soms zo dat vooraf niet precies te zeggen is hoeveel termen nodig zijn, maar dat er beter een paar extra termen genomen kunnen worden?
Dat werkt veiliger.

Roy8888
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 701
Lid geworden op: 24 aug 2011, 21:36

Re: Limiet naar 0 bepalen met Taylor polynomen

Bericht door Roy8888 » 13 aug 2015, 18:04

Welke termen blijven er dan nog over in de laatste stap?

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14247
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Limiet naar 0 bepalen met Taylor polynomen

Bericht door SafeX » 13 aug 2015, 18:13

Roy8888 schreef:Welke termen blijven er dan nog over in de laatste stap?
Wat bedoel je?

Kies nu eens voldoende termen in de teller ...

Roy8888
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 701
Lid geworden op: 24 aug 2011, 21:36

Re: Limiet naar 0 bepalen met Taylor polynomen

Bericht door Roy8888 » 13 aug 2015, 18:31

SafeX schreef:
Roy8888 schreef:Welke termen blijven er dan nog over in de laatste stap?

Kies nu eens voldoende termen in de teller ...
Dat is precies mijn vraag, wat zijn voldoende termen? Onderstaande is wat ik heb ingevuld.



De x^4 kan ik tegen elkaar wegdelen. De O'tjes gaan naar nul als ik daar de limiet van neem. Dan komt er -1 uit. Zoals jij eerder zei ''alle termen moet verdwijnen als je de limiet neemt'' dat is hier het geval, toch? Ik zou dus zeggen dat ik goed zit hier, maar blijkbaar niet.

Ik snap dat als ik een extra term neem bij de ln dat ik dan het antwoord krijg. Maar als ik dit vraagstuk krijg weet ik het antwoord niet. Ik zou dus zeggen dat ik mijn limiet nu kan bepalen omdat ik voldoende termen heb, maar dat blijkt dus niet zo te zijn.

Mijn vraag is dus: Hoe had ik hier kunnen zien dat ik bij de ln nog een extra term nodig had?

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14247
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Limiet naar 0 bepalen met Taylor polynomen

Bericht door SafeX » 13 aug 2015, 18:34

In de teller staat O(x^4) dus moet je doorgaan, delen door x^4 levert dan nog altijd een constante op ...

Roy8888
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 701
Lid geworden op: 24 aug 2011, 21:36

Re: Limiet naar 0 bepalen met Taylor polynomen

Bericht door Roy8888 » 14 aug 2015, 14:16

Oke, nu is het me duidelijk. Klinkt ook logisch maar had er niet bij nagedacht. Ik dacht dat die resttermen altijd naar 0 gingen. Volgende keer maar zekere voor onzekere en wat termen extra nemen. Bedankt voor je hulp.

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14247
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Limiet naar 0 bepalen met Taylor polynomen

Bericht door SafeX » 14 aug 2015, 21:18

Ok, succes verder.

Plaats reactie