Wiskundeforum

Hallo

Ik zit vast bij een redelijk klein bewijs i.v.m. het behoud van een teken.

De stelling gaat als volgt:




M.a.w. het teken van ' f ' blijft behouden in de nabijheid van een punt c.

Het bewijs dat in de les gegeven was gaat als volgt (f(c) > 0):




----------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ik snap dat men hier gebruik maakt van de epsilon-delta definitie, waarmee continuïteit ook is gedefinieerd, maar ik zie niet hoe dat laatste gedeelte wordt bereikt. Ik heb verschillende dingen geprobeerd, maar ik kom er niet aan. Soms kom ik er gedeeltelijk op, maar dan werk het niet voor het geval 'f(c) < 0'

Mijn beste poging:



-----------------------------------------
Gebruikte eigenschappen:

• 
  

Verder heb ik dan geen idee hoe het moet. '|f(c)| = f(c)' indien 'f(c) > 0', maar daar stop het dan ook. Ik heb niet echt een idee hoe ik die absolute waarde van f(x) kan wegkrijgen. Wanneer ik het opsplits in twee gevallen 'f(x) > 0' en 'f(x) < 0', dan klopt het bewijs voor 'f(c) > 0'. Voor 'f(c) > 0' werk het niet.

Weet er iemand wat ik fout doe, of hoe je het beter zou aanpakken? Op zich is het bewijs niet zo belangrijk, het zal waarschijnlijk niet op een examen gevraagd worden, maar het stoort mij gewoon dat ik het niet snap.

Begrijp ik dat het gegeven is:

Ja, f is continu.

Dat betekent dus:



kies nu epsilon=1/2f(c) met f(c)>0 ...

SafeX schreef:Dat betekent dus:



kies nu epsilon=1/2f(c) met f(c)>0 ...

Even zien of mijn gedeeltelijke openbaring klopt.

Waarom er geen absolute waarden zijn bij:

Volgens mijn redenering:



Men kan beide leden beschouwen als de afstand tussen twee getallen, waarbij



Men kan (1) nu herschrijven als volgt:



Beide resultaten zijn hetzelfde, dus mogen we er gewoon eentje kiezen en zijn we vervolgens onze absolute waarden kwijt.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------

Als ik dit nu concreet ga toepassen voor f(c) > 0, dan krijg ik



Dit is een resultaat dat ik zelf ook al is ben uitgekomen, en de eerst helft is wat ik zou moeten uitkomen. Ik heb enkel mijn twijfels over de tweede helft, met de bovengrens. Hoort dat er effectief bij? Het lijkt me nogal fout om te zeggen dat mijn functiewaarde niet groter kan zijn dan 3f(c)/2

Dezelfde uitdrukking werkt niet meer in het geval van 'f(c) < 0'. Ik vermoed dat ik niet zomaar dezelfde uitdrukking mag gebruiken, en dat ik ergens moet compenseren voor het feit dat f(c) negatief is, ik zie gewoon niet waar.

Alleszins, bedankt om mij te willen helpen!

Het gaat over reële getallen, denk aan een getallenlijn ...
Wat betekent dan, |x|<3? (gebruik het woord afstand)

SafeX schreef:Het gaat over reële getallen, denk aan een getallenlijn ...
Wat betekent dan, |x|<3? (gebruik het woord afstand)

Dat betekent toch dat de afstand van x tot 0 kleiner is dan de afstand van 3 tot 0?

Precies, dus welk interval geldt voor x ...
Nu voor: |x-2|<3

En ook: |x-a|<c

Het interval [0,x]? Misschien ook het interval [-x,0]?

De eerste wilt zeggen dat de afstand van x tot 2, of andersom, kleiner is dan de afstand van 3 tot 0.
De tweede is dan gewoon de veralgemening hiervan.

|x|<3 <=> -3<x<3 ... , vind je dit niet logisch?

SafeX schreef:|x|<3 <=> -3<x<3 ... , vind je dit niet logisch?

Ik vind het wel logisch. Ik redeneer als volgt:



Men kan dit opsplitsen in 2 gevallen:



Deze twee gevallen kan men dan samennemen tot:

Dit is toch ongeveer dezelfde redenering als in mijn 3de post?

Ok, en met het begrip afstand op de getallenrechte ...

Aangezien een beeld meer zegt dan duizend woorden.

Mooi, dan zie je nu hoe je de absoluutstrepen kwijtraakt ...

Schrijf nu de intervalnotatie van

|x-2|<3

En ook: |x-a|<c met c>0

Als ik het goed heb dan kom ik uit op: