Wiskundeforum

Ik kwam volgende vraag tegen

Bereken door dubbele integratie de oppervlakte van het gebied ingesloten door





Ik kan de oppervlakte wel berekenen als ik de snijpunten van de curves bereken, dan is het op zich een eenvoudig probleem.

De snijpunten van de derde curve met de eerste 2 curves levert echter irrationale getallen waarvoor geen eenvoudige uitdrukking bestaat. Het probleem herleidt zich tot een vierde graadsvergelijking.

Mijn vraag is, zou er een slim truukje bestaan om de oppervlakte te berekenen zonder dat we de snijpunten van de curves expliciet moeten berekenen? Het betreft een examenvraag die iemand mij voorlegde en ik vermoed dat het de bedoeling is om te komen tot een exacte oplossing in een redelijke tijd zonder omslachtig rekenwerk.

Nee, de coördinaten van de snijpunten zijn nodig ...

Ja, ik dacht het ook al.

Kijk eens wat je krijgt als je gebruik maakt van poolcoördinaten.

We krijgen dan in volgorde voor mijn 3 curves





Als je dan snijpunten gaat zoeken behoud je ook een vierdegraadsprobleem lijkt mij...

wnvl schreef:We krijgen dan in volgorde voor mijn 3 curves





Als je dan snijpunten gaat zoeken behoud je ook een vierdegraadsprobleem lijkt mij...

Schrijf iedere uitdrukking eens in de gedaante r = r(θ) en kijk eens wat dat oplevert.

Stel eens dat de laatste formule y = -x² zou moeten zijn, en dat er dus een fout in de opstelling van de opgave zit. Als dat zo is houd je een vierdegraadsvergelijking over die uitsluitend termen in x bevat.

arno schreef:

wnvl schreef:We krijgen dan in volgorde voor mijn 3 curves





Als je dan snijpunten gaat zoeken behoud je ook een vierdegraadsprobleem lijkt mij...

Schrijf iedere uitdrukking eens in de gedaante r = r(θ) en kijk eens wat dat oplevert.

arno schreef:Stel eens dat de laatste formule y = -x² zou moeten zijn, en dat er dus een fout in de opstelling van de opgave zit. Als dat zo is houd je een vierdegraadsvergelijking over die uitsluitend termen in x bevat.

Bedoel je met deze opmerking dan dat volgens jou een vierdegraadsvergelijking onvermijdelijk is?

wnvl schreef:

arno schreef:Stel eens dat de laatste formule y = -x² zou moeten zijn, en dat er dus een fout in de opstelling van de opgave zit. Als dat zo is houd je een vierdegraadsvergelijking over die uitsluitend termen in x bevat.

Bedoel je met deze opmerking dan dat volgens jou een vierdegraadsvergelijking onvermijdelijk is?

Ja, maar het is in ieder geval een vierdegraadsvergelijking die gemakkelijk door ontbinden in factoren kan worden opgelost.