Eerste orde lineaire differentiaalvergelijking

Integraalrekening, afgeleiden, rijen, convergentie & divergentie van reeksen, meervoudige integratie.
Plaats reactie
scaryhans
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 3
Lid geworden op: 23 mei 2016, 15:15

Eerste orde lineaire differentiaalvergelijking

Bericht door scaryhans » 23 mei 2016, 15:53

ik moet de algemene oplossing vinden van de volgende differentiaalvergelijking:

xy'ln(x) + y = x²ln(x)

dit heb ik omgevormd om overeen te komen met de volgende vergelijking: y' + f(x)y = g(x)

y' + y/(xln(x)) = x

hieruit heb ik de homogene oplossing yh bepaald:
y' + yh/(xln(x)) = 0 => yh = -ln(x)*C

nu moeten we de particuliere oplossing yp vinden met: g(x) = x
yp = Ax + B => yp' = A

dit vullen we dan in de oorspronkelijke vergelijking om de onbepaalde coëfficienten te bepalen:
A + (Ax + B)/(xln(x)) = x

hier zit ik dus vast. Ik weet niet goed hoe ik uit deze vergelijking A en B moet bepalen om zo tot de particuliere oplossing te komen en daaruit tot de algemene oplossing.

Alle hulp is welkom!

Gebruikersavatar
wnvl
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1490
Lid geworden op: 05 okt 2011, 16:30

Re: Eerste orde lineaire differentiaalvergelijking

Bericht door wnvl » 23 mei 2016, 16:41

Je gebruikt variatie van de parameters. Je prarticuliere moet dan van de vorm

yp = ln(x)*C(x)

zijn...

scaryhans
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 3
Lid geworden op: 23 mei 2016, 15:15

Re: Eerste orde lineaire differentiaalvergelijking

Bericht door scaryhans » 23 mei 2016, 16:53

Maar ik gebruik toch de 'methode van onbepaalde coëfficiënten' ipv 'methode van variatie van de parameters'?

Maar ik heb een fout gevonden in mijn homogene oplossing (denk ik).

Deze zou: yh = C/ln(x) moeten zijn ipv yh = -ln(x)C

dus op deze heb ik dan variatie van de parameters toegepast:
C'(x) = xln(x) => C(x) = [x²(2ln(x)-1)]/4 + C

en daaruit dan de algemene oplossing:
y = [x²(2ln(x)-1)]/4ln(x) + C/ln(x)

lijkt dit juist?

Gebruikersavatar
wnvl
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1490
Lid geworden op: 05 okt 2011, 16:30

Re: Eerste orde lineaire differentiaalvergelijking

Bericht door wnvl » 23 mei 2016, 17:26

scaryhans schreef:Maar ik gebruik toch de 'methode van onbepaalde coëfficiënten' ipv 'methode van variatie van de parameters'?
Onbepaalde coëfficiënten is hier niet van toepassing omdat de coëfficiënten niet constant zijn...

Je homogene oplossing is wel correct nu.

scaryhans
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 3
Lid geworden op: 23 mei 2016, 15:15

Re: Eerste orde lineaire differentiaalvergelijking

Bericht door scaryhans » 23 mei 2016, 17:58

Ah ok ik snap wat je bedoelt, ja je hebt gelijk. Maar ik denk dat het nu juist is.

Gebruikersavatar
wnvl
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1490
Lid geworden op: 05 okt 2011, 16:30

Re: Eerste orde lineaire differentiaalvergelijking

Bericht door wnvl » 23 mei 2016, 22:04

scaryhans schreef:Ah ok ik snap wat je bedoelt, ja je hebt gelijk. Maar ik denk dat het nu juist is.
De oplossing is inderdaad correct.

Plaats reactie