Partiële integratie cotg x
-
- Nieuw lid
- Berichten: 9
- Lid geworden op: 28 mei 2016, 09:31
Partiële integratie cotg x
Ik vroeg me af of elke integraal met partiële integratie kan opgelost worden?
De methode is gebaseerd op twee differentieerbare functies u(x) en v(x) dus ik vermoed dat partiële integratie dan een oplossing zou moeten geven voor elke integraal die in de vorm int(u(x)v'(x)dx geschreven kan worden en waarbij de functies u(x) en v(x) differentieerbaar zijn.
Neem nu f(x) = cosx/sinx. Indien je deze wil integreren is dit met subsitutie eenvoudig op te lossen maar ik dacht deze eens op te lossen met partiële integratie.
Als ik u(x) = 1/sin(x) en dv(x) = cosx dx krijg ik niet hetzelfde resultaat als ik krijg met substitutie.
Mijn redenering (waar waarschijnlijk een fout in zit)
u(x) = 1/sinx
u'(x) = -cotgx cosecx
d v(x)= cosx dx
v(x)= sinx
Als je dan de formule van partiële integratie toepast wordt dit:
int f(x)= int (cosx/sinx dx) = u(x) v(x) - int (v(x) u'(x)dx)
=1/ sinx *sinx - int (sinx (-cotgx cosecx) dx )
=1 + int ( cosx/sinx dx)
nu heb je:
int ( cosx/sinx) = 1 + int (cosx/sinx dx) + C
wat zou betekenen 0 = 1 + C
Ik maak ergens een cruciale fout maar ik weet niet waar, kan iemand me zeggen waar ik de mist in ga?
De methode is gebaseerd op twee differentieerbare functies u(x) en v(x) dus ik vermoed dat partiële integratie dan een oplossing zou moeten geven voor elke integraal die in de vorm int(u(x)v'(x)dx geschreven kan worden en waarbij de functies u(x) en v(x) differentieerbaar zijn.
Neem nu f(x) = cosx/sinx. Indien je deze wil integreren is dit met subsitutie eenvoudig op te lossen maar ik dacht deze eens op te lossen met partiële integratie.
Als ik u(x) = 1/sin(x) en dv(x) = cosx dx krijg ik niet hetzelfde resultaat als ik krijg met substitutie.
Mijn redenering (waar waarschijnlijk een fout in zit)
u(x) = 1/sinx
u'(x) = -cotgx cosecx
d v(x)= cosx dx
v(x)= sinx
Als je dan de formule van partiële integratie toepast wordt dit:
int f(x)= int (cosx/sinx dx) = u(x) v(x) - int (v(x) u'(x)dx)
=1/ sinx *sinx - int (sinx (-cotgx cosecx) dx )
=1 + int ( cosx/sinx dx)
nu heb je:
int ( cosx/sinx) = 1 + int (cosx/sinx dx) + C
wat zou betekenen 0 = 1 + C
Ik maak ergens een cruciale fout maar ik weet niet waar, kan iemand me zeggen waar ik de mist in ga?
Re: Partiële integratie cotg x
Je kan nu alleen concluderen dat jouw keuze de integraal niet oplost ...
-
- Vergevorderde
- Berichten: 1923
- Lid geworden op: 25 dec 2008, 16:28
- Locatie: Beek en Donk, Noord-Brabant
Re: Partiële integratie cotg x
Laat u en v 2 gegeven functies zijn, dan geldt dat ∫u(x)∙v'(x)dx = u(x)∙v(x)-∫u'(x)∙v(x)dx. Je zoekt in dit geval 2 functies u en v die voldoen aan u(x)∙v'(x) = cotg x. Welke functies liggen er in dit geval voor de hand, dus wat wordt dan de gevraagde integraal?
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel
-
- Nieuw lid
- Berichten: 9
- Lid geworden op: 28 mei 2016, 09:31
Re: Partiële integratie cotg x
De meest voor de hand liggende keuze zou u(x)= 1/sin(x) zijn en v'(x) = cos x , dacht ik.
Maar ik veronderstel dat ik de zaken moet omdraaien en u(x) = cos x en v'(x)= 1/sinx stellen.
Dan wordt de vergelijking echter een pak ingewikkelder...
Maar ik veronderstel dat ik de zaken moet omdraaien en u(x) = cos x en v'(x)= 1/sinx stellen.
Dan wordt de vergelijking echter een pak ingewikkelder...
-
- Nieuw lid
- Berichten: 9
- Lid geworden op: 28 mei 2016, 09:31
Re: Partiële integratie cotg x
Maar heb ik niet ergens een fout gemaakt? Ik kan begrijpen dat de vergelijking op deze manier niet opgelost kan worden. Maar ik bekom wel een oplossing die eigenlijk niet kan.SafeX schreef:Je kan nu alleen concluderen dat jouw keuze de integraal niet oplost ...
Re: Partiële integratie cotg x
Stel de (onbepaalde) integraal voor door I, dan heb je: I=1+I en dat is hetzelfde als I=I, waarom?
-
- Nieuw lid
- Berichten: 9
- Lid geworden op: 28 mei 2016, 09:31
Re: Partiële integratie cotg x
Geen flauw idee. Ik vermoed dat die 1 in de constante zit maar de C komt pas in de vergelijking na de integratie. Alvorens je integreert kan je dan schrijven I=I+1 ; 0=1 . Maar goed, ik zal de bal wel compleet mis slaan.
Re: Partiële integratie cotg x
Het zit 'm in het feit dat het een onbepaalde integraal betreft ...
-
- Nieuw lid
- Berichten: 9
- Lid geworden op: 28 mei 2016, 09:31
Re: Partiële integratie cotg x
Dus ten gevolge van de constante(n)?
Re: Partiële integratie cotg x
Natuurlijk, I-I=c met c is reëel ...
-
- Nieuw lid
- Berichten: 9
- Lid geworden op: 28 mei 2016, 09:31
Re: Partiële integratie cotg x
I-I =C is logisch. Maar ik blijf I-I = 1 vreemd vinden want dan wordt er gesteld dat het verschil tussen de constanten van de twee integralen altijd 1 is...
Re: Partiële integratie cotg x
Nee, jij vindt I-I=1+c ...
-
- Nieuw lid
- Berichten: 9
- Lid geworden op: 28 mei 2016, 09:31
Re: Partiële integratie cotg x
Dit kan toch niet? De constante(n) komen er pas bij nadat de integraal is opgelost. Zolang er geen oplossing is voor de integraal is er ook geen constante?SafeX schreef:Nee, jij vindt I-I=1+c ...
Re: Partiële integratie cotg x
De oplossing van een onbepaalde integraal is een verzameling functies, die op een vrij te kiezen constante na aan elkaar gelijk zijn:
Hierdoor is
Stel C + 1 = D:
en als (D-1) een reeel getal is, dan moet ook D een reeel getal zijn:
en dit is hetzelfde als de eerste verzameling, dus:
Merk op dat we hier verzamelingen aan elkaar gelijk stellen, en geen variabelen.
Dit is dus anders dan
x = 1 + x
ofwel (trek links en rechts x af):
0 = 1
Iets soortgelijks zien we bij vectorvoorstellingen van lijnen.
Neem bijvoorbeeld de lijn L: y = x
Die kunnen we weergeven door:
maar ook (met andere keuze van de steunvector) door:
Beide vectorvoorstellingen geven wel dezelfde verzameling punten weer (de lijn L), maar toch mag je de beschrijvingen niet aan elkaar gelijk stellen om bijvoorbeeld aan te tonen dat
Hierdoor is
Stel C + 1 = D:
en als (D-1) een reeel getal is, dan moet ook D een reeel getal zijn:
en dit is hetzelfde als de eerste verzameling, dus:
Merk op dat we hier verzamelingen aan elkaar gelijk stellen, en geen variabelen.
Dit is dus anders dan
x = 1 + x
ofwel (trek links en rechts x af):
0 = 1
Iets soortgelijks zien we bij vectorvoorstellingen van lijnen.
Neem bijvoorbeeld de lijn L: y = x
Die kunnen we weergeven door:
maar ook (met andere keuze van de steunvector) door:
Beide vectorvoorstellingen geven wel dezelfde verzameling punten weer (de lijn L), maar toch mag je de beschrijvingen niet aan elkaar gelijk stellen om bijvoorbeeld aan te tonen dat
Re: Partiële integratie cotg x
Met I wordt de integraal bedoelt, dus de primitieve (waarbij altijd een constante behoort) ...Agent Cooper schreef:Dit kan toch niet? De constante(n) komen er pas bij nadat de integraal is opgelost. Zolang er geen oplossing is voor de integraal is er ook geen constante?SafeX schreef:Nee, jij vindt I-I=1+c ...