Partiële integratie cotg x

Integraalrekening, afgeleiden, rijen, convergentie & divergentie van reeksen, meervoudige integratie.
Agent Cooper
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 9
Lid geworden op: 28 mei 2016, 09:31

Partiële integratie cotg x

Bericht door Agent Cooper » 28 mei 2016, 09:44

Ik vroeg me af of elke integraal met partiële integratie kan opgelost worden?

De methode is gebaseerd op twee differentieerbare functies u(x) en v(x) dus ik vermoed dat partiële integratie dan een oplossing zou moeten geven voor elke integraal die in de vorm int(u(x)v'(x)dx geschreven kan worden en waarbij de functies u(x) en v(x) differentieerbaar zijn.


Neem nu f(x) = cosx/sinx. Indien je deze wil integreren is dit met subsitutie eenvoudig op te lossen maar ik dacht deze eens op te lossen met partiële integratie.

Als ik u(x) = 1/sin(x) en dv(x) = cosx dx krijg ik niet hetzelfde resultaat als ik krijg met substitutie.

Mijn redenering (waar waarschijnlijk een fout in zit)

u(x) = 1/sinx

u'(x) = -cotgx cosecx

d v(x)= cosx dx

v(x)= sinx

Als je dan de formule van partiële integratie toepast wordt dit:

int f(x)= int (cosx/sinx dx) = u(x) v(x) - int (v(x) u'(x)dx)

=1/ sinx *sinx - int (sinx (-cotgx cosecx) dx )

=1 + int ( cosx/sinx dx)

nu heb je:

int ( cosx/sinx) = 1 + int (cosx/sinx dx) + C

wat zou betekenen 0 = 1 + C



Ik maak ergens een cruciale fout maar ik weet niet waar, kan iemand me zeggen waar ik de mist in ga?

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Partiële integratie cotg x

Bericht door SafeX » 28 mei 2016, 11:33

Je kan nu alleen concluderen dat jouw keuze de integraal niet oplost ...

arno
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1923
Lid geworden op: 25 dec 2008, 16:28
Locatie: Beek en Donk, Noord-Brabant

Re: Partiële integratie cotg x

Bericht door arno » 28 mei 2016, 12:11

Laat u en v 2 gegeven functies zijn, dan geldt dat ∫u(x)∙v'(x)dx = u(x)∙v(x)-∫u'(x)∙v(x)dx. Je zoekt in dit geval 2 functies u en v die voldoen aan u(x)∙v'(x) = cotg x. Welke functies liggen er in dit geval voor de hand, dus wat wordt dan de gevraagde integraal?
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

Agent Cooper
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 9
Lid geworden op: 28 mei 2016, 09:31

Re: Partiële integratie cotg x

Bericht door Agent Cooper » 28 mei 2016, 13:14

De meest voor de hand liggende keuze zou u(x)= 1/sin(x) zijn en v'(x) = cos x , dacht ik.
Maar ik veronderstel dat ik de zaken moet omdraaien en u(x) = cos x en v'(x)= 1/sinx stellen.

Dan wordt de vergelijking echter een pak ingewikkelder...

Agent Cooper
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 9
Lid geworden op: 28 mei 2016, 09:31

Re: Partiële integratie cotg x

Bericht door Agent Cooper » 28 mei 2016, 13:18

SafeX schreef:Je kan nu alleen concluderen dat jouw keuze de integraal niet oplost ...
Maar heb ik niet ergens een fout gemaakt? Ik kan begrijpen dat de vergelijking op deze manier niet opgelost kan worden. Maar ik bekom wel een oplossing die eigenlijk niet kan.

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Partiële integratie cotg x

Bericht door SafeX » 28 mei 2016, 13:34

Stel de (onbepaalde) integraal voor door I, dan heb je: I=1+I en dat is hetzelfde als I=I, waarom?

Agent Cooper
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 9
Lid geworden op: 28 mei 2016, 09:31

Re: Partiële integratie cotg x

Bericht door Agent Cooper » 28 mei 2016, 13:46

Geen flauw idee. Ik vermoed dat die 1 in de constante zit maar de C komt pas in de vergelijking na de integratie. Alvorens je integreert kan je dan schrijven I=I+1 ; 0=1 . Maar goed, ik zal de bal wel compleet mis slaan.

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Partiële integratie cotg x

Bericht door SafeX » 28 mei 2016, 13:58

Het zit 'm in het feit dat het een onbepaalde integraal betreft ...

Agent Cooper
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 9
Lid geworden op: 28 mei 2016, 09:31

Re: Partiële integratie cotg x

Bericht door Agent Cooper » 28 mei 2016, 14:04

Dus ten gevolge van de constante(n)?

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Partiële integratie cotg x

Bericht door SafeX » 28 mei 2016, 14:12

Natuurlijk, I-I=c met c is reëel ...

Agent Cooper
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 9
Lid geworden op: 28 mei 2016, 09:31

Re: Partiële integratie cotg x

Bericht door Agent Cooper » 28 mei 2016, 14:29

I-I =C is logisch. Maar ik blijf I-I = 1 vreemd vinden want dan wordt er gesteld dat het verschil tussen de constanten van de twee integralen altijd 1 is...

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Partiële integratie cotg x

Bericht door SafeX » 28 mei 2016, 16:58

Nee, jij vindt I-I=1+c ...

Agent Cooper
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 9
Lid geworden op: 28 mei 2016, 09:31

Re: Partiële integratie cotg x

Bericht door Agent Cooper » 28 mei 2016, 18:43

SafeX schreef:Nee, jij vindt I-I=1+c ...
Dit kan toch niet? De constante(n) komen er pas bij nadat de integraal is opgelost. Zolang er geen oplossing is voor de integraal is er ook geen constante?

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3911
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Partiële integratie cotg x

Bericht door arie » 29 mei 2016, 00:35

De oplossing van een onbepaalde integraal is een verzameling functies, die op een vrij te kiezen constante na aan elkaar gelijk zijn:



Hierdoor is





Stel C + 1 = D:



en als (D-1) een reeel getal is, dan moet ook D een reeel getal zijn:



en dit is hetzelfde als de eerste verzameling, dus:



Merk op dat we hier verzamelingen aan elkaar gelijk stellen, en geen variabelen.
Dit is dus anders dan
x = 1 + x
ofwel (trek links en rechts x af):
0 = 1


Iets soortgelijks zien we bij vectorvoorstellingen van lijnen.
Neem bijvoorbeeld de lijn L: y = x
Die kunnen we weergeven door:



maar ook (met andere keuze van de steunvector) door:



Beide vectorvoorstellingen geven wel dezelfde verzameling punten weer (de lijn L), maar toch mag je de beschrijvingen niet aan elkaar gelijk stellen om bijvoorbeeld aan te tonen dat


SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Partiële integratie cotg x

Bericht door SafeX » 29 mei 2016, 09:01

Agent Cooper schreef:
SafeX schreef:Nee, jij vindt I-I=1+c ...
Dit kan toch niet? De constante(n) komen er pas bij nadat de integraal is opgelost. Zolang er geen oplossing is voor de integraal is er ook geen constante?
Met I wordt de integraal bedoelt, dus de primitieve (waarbij altijd een constante behoort) ...

Plaats reactie