Basisvraag notatie afgeleide

Integraalrekening, afgeleiden, rijen, convergentie & divergentie van reeksen, meervoudige integratie.

Basisvraag notatie afgeleide

Berichtdoor Atrend » 09 Jun 2017, 09:54

Hallo,

Ik leer wiskunde in zelfstudie, maar zit een beetje vast en dus wend ik me tot jullie. Ongetwijfeld dat het een basisvraag is, maar hopelijk kunnen jullie me vertellen wat ik over het hoofd zie.

Ik ben nu bezig met afgeleiden. Ik snap het concept en de "limiet naar 0/ waarde benaderen"-methode die erachter zit. De basisrekenregels (kettingregel vb.) ken ik ook. Wat ik echter niet snap is de "dF/dx" notatie. Het concept van die notatie ontsnapt me.

Ik geef een voorbeeld van een vraagstuk uit het boek (vertaald).
Een ballon heeft de vorm van een bol. Hij wordt opgeblazen aan een tempo van 20 kubieke centimeter per minuut. Wat is de verandering in de straal op het moment dat de bol een volume van 64 kubieke centimeter heeft?


De oplossing vertrekt van V= 4*pi*(1/3)*r^3 (volume bol). Tot hier ben ik mee. Daarna wordt er echter afgeleid, niet naar r, maar naar tijd t. Dit geeft dan: dV/dt = 4pi/3 * 3r^2 * dr/dt. Dit wordt dat uitgewerkt naar dr/dt, wat het antwoord is.

Ik snap dat deze dr/dt en dV/dt de waarde van r, dan wel V is wanneer t oneindig klein wordt. Twee zaken snap ik echter niet:
- Waar komt deze "t" plots vandaan? Kan ik zomaar een variabele bij verzinnen tijdens het afleiden? Ik zie wel dat r en V veranderen in functie van t, en t dus de onafhankelijke variabele is hier, maar t staat toch niet in de eerste formule?
- Hoe reken ik met die dr/dt of dV/dt. Ik ben een notatie gewend als df(x)/dx, waar de 'x' dus de onafhankelijke variabele is in de functie in de teller. Ik dacht dat dit gewoon een alternatieve schrijfwijze was voor "afgeleide" of f(x)', dus nam ik gewoon de afgeleide en negeerde ik die df(x)/dx verder. Hier staat echter geen "t" in de functie in de teller en wordt er echt gerekend met die dr/dt. Blijkbaar is het dus niet zomaar een notatie, maar gedraagt het zich als een factor. Kan iemand me vertellen (1) hoe ik dit precies moet zien (is het een schrijfwijze, factor, deling, ...?) en (2) waarom ik het kan negeren in bijvoorbeeld d(x^2)/dx = 2x.

Sorry voor deze beginnersvraag. Toch bedankt voor jullie antwoorden!
Atrend
Nieuw lid
Nieuw lid
 
Berichten: 4
Geregistreerd: 09 Jun 2017, 09:21

Re: Basisvraag notatie afgeleide

Berichtdoor SafeX » 09 Jun 2017, 10:58

Atrend schreef:Hij wordt opgeblazen aan een tempo van 20 kubieke centimeter per minuut. Wat is de verandering in de straal op het moment dat de bol een volume van 64 kubieke centimeter heeft?


Hier staat dat de straal verandert met de tijd, nl het volume neemt toe met 20 cm/min en noteren dat met dV/dt. Dus: dV/dt=20
Heb je wel al kennis gemaakt met het begrip snelheid?
SafeX
Moderator
Moderator
 
Berichten: 14161
Geregistreerd: 29 Dec 2005, 11:53

Re: Basisvraag notatie afgeleide

Berichtdoor Atrend » 09 Jun 2017, 11:32

Hallo SafeX, bedankt voor je reactie.

Ik zie snelheid als de afgeleide naar tijd (zie ik dit fout?), dus in die zin snap ik de dV/dt en dr/dt wel.

Ik snap echter niet hoe ik plots een formule, waar eigenlijk geen "t" in staat, plots kan afleiden naar "t". Wordt hier eerst impliciet een "t" bijgezet? Of kan ik elke formule afleiden naar een willekeurige variabele x, ook al komt die niet voor in die formule?

Ik zie ook niet goed hoe ik moet rekenen met die "dr/dt". Als ik V = 4/3*pi*r^3 heb, en ik zou afleiden naar dV/dr; heb ik 4/3*pi*3r^2 (toch?). Afgeleid naar dV/dt bekom ik 4/3*pi*3r^2*dr/dt. Staat er in het eerste geval dan een soort impliciete dr/dr = 1 als factor?
Atrend
Nieuw lid
Nieuw lid
 
Berichten: 4
Geregistreerd: 09 Jun 2017, 09:21

Re: Basisvraag notatie afgeleide

Berichtdoor SafeX » 09 Jun 2017, 12:53

Atrend schreef:Ik zie snelheid als de afgeleide naar tijd (zie ik dit fout?


Prima, bedenk dat de eenheid van snelheid m/s is.

Het volume van een bol is afhankelijk van r. Dus als het volume met de tijd verandert moet noodzakelijk ook de straal met de tijd veranderen. Dus zowel V als r zijn afhankelijk van t en we noteren V(t) en r(t).
SafeX
Moderator
Moderator
 
Berichten: 14161
Geregistreerd: 29 Dec 2005, 11:53

Re: Basisvraag notatie afgeleide

Berichtdoor Atrend » 09 Jun 2017, 15:11

Opnieuw dank voor uw snelle reactie, SafeX.

Straal r is inderdaad afhankelijk van tijd t; wat maakt dat volume V, dat afhankelijk is van r, "in tweede orde" afhankelijk is van t. In de formule V = 4/3*pi*r^3 moet ik dus impliciet r lezen r(t) als ik het goed heb?

Deze toevoeging van factor dr/dt is dan eigenlijk een soort kettingregel, omdat r zelf nog een functie is? Is dat de reden waarom dV/dr = 4/3*pi*3r^2 zonder extra factor is; omdat r hier geen functie is en dus geen kettingregel aan te pas komt?
Atrend
Nieuw lid
Nieuw lid
 
Berichten: 4
Geregistreerd: 09 Jun 2017, 09:21

Re: Basisvraag notatie afgeleide

Berichtdoor SafeX » 09 Jun 2017, 15:48

Atrend schreef:Straal r is inderdaad afhankelijk van tijd t; wat maakt dat volume V, dat afhankelijk is van r, "in tweede orde" afhankelijk is van t. In de formule V = 4/3*pi*r^3 moet ik dus impliciet r lezen r(t) als ik het goed heb?

Deze toevoeging van factor dr/dt is dan eigenlijk een soort kettingregel, omdat r zelf nog een functie is? Is dat de reden waarom dV/dr = 4/3*pi*3r^2 zonder extra factor is; omdat r hier geen functie is en dus geen kettingregel aan te pas komt?


Bekijk: t -> r -> V, hieruit volgt: dV/dt=dV/dr*dr/dt

Dus kan je dV/dt bepalen als functie van dr/dt, immers V(r) is bekend.
SafeX
Moderator
Moderator
 
Berichten: 14161
Geregistreerd: 29 Dec 2005, 11:53

Re: Basisvraag notatie afgeleide

Berichtdoor Atrend » 10 Jun 2017, 10:35

Ik begin het inderdaad te zien; alvast bedankt voor de hulp, SafeX!
Atrend
Nieuw lid
Nieuw lid
 
Berichten: 4
Geregistreerd: 09 Jun 2017, 09:21

Re: Basisvraag notatie afgeleide

Berichtdoor SafeX » 10 Jun 2017, 11:50

Mooi, succes verder.
SafeX
Moderator
Moderator
 
Berichten: 14161
Geregistreerd: 29 Dec 2005, 11:53


Terug naar Analyse & calculus

Wie is er online?

Gebruikers in dit forum: Bing [Bot], Google [Bot] en 1 gast

Wie is er online?

Er zijn in totaal 3 gebruikers online :: 2 geregistreerd, 0 verborgen en 1 gast (Gebaseerd op de gebruikers die actief waren gedurende 5 minuten)
De meeste gebruikers ooit tegelijkertijd online was 649 op 31 Okt 2014, 18:45

Gebruikers in dit forum: Bing [Bot], Google [Bot] en 1 gast
Copyright © 2009 Afterburner - Free GPL Template. All Rights Reserved.