Verzin een formule

Integraalrekening, afgeleiden, rijen, convergentie & divergentie van reeksen, meervoudige integratie.

Verzin een formule

Berichtdoor ignaceii » 23 Jun 2017, 10:35

Van Rooij pag 17.
Opgave 2.C
Verzin een formule.
1/2.3 + 1/3.4 +..... +n/n+1

Kan iemand een aanzet geven. En hoe hij dit aangepakt heeft ?

Bedankt.
Ignace.
ignaceii
Vast lid
Vast lid
 
Berichten: 27
Geregistreerd: 20 Jul 2012, 22:24

Re: Verzin een formule

Berichtdoor arie » 23 Jun 2017, 12:18

Je bedoelt waarschijnlijk:




Een mogelijkheid:
Reken eerst de eerste waarden eens uit (bijvoorbeeld voor n=1 t/m n=4):







etc.

Zie je een patroon (uitgedrukt in n)?
Bewijs tenslotte met behulp van volledige inductie dat je gevonden patroon juist is.

Kom je hiermee verder?
arie
Moderator
Moderator
 
Berichten: 3009
Geregistreerd: 09 Mei 2008, 09:19

Re: Verzin een formule

Berichtdoor SafeX » 23 Jun 2017, 12:51

Je laatste term klopt niet! Ga dat na ...

Of anders: breuksplitsing



@arie: de eerste term is 1/(2*3)
SafeX
Moderator
Moderator
 
Berichten: 14198
Geregistreerd: 29 Dec 2005, 11:53

Re: Verzin een formule

Berichtdoor ignaceii » 23 Jun 2017, 17:29

arie schreef:Je bedoelt waarschijnlijk:




Een mogelijkheid:
Reken eerst de eerste waarden eens uit (bijvoorbeeld voor n=1 t/m n=4):







etc.

Zie je een patroon (uitgedrukt in n)?
Bewijs tenslotte met behulp van volledige inductie dat je gevonden patroon juist is.

Kom je hiermee verder?



Niet echt.
Patroon is duidelijk 1/n(n+1) per term. Formule moet per term de waarde geven. Is nog wat anders

Ook schuiven de delers op met 2 meer dan de vorige.

2, 6, 12, 20
Verschillen zijn
4, 6, 8

Maar wat ben ik hiermee ?
ignaceii
Vast lid
Vast lid
 
Berichten: 27
Geregistreerd: 20 Jul 2012, 22:24

Re: Verzin een formule

Berichtdoor ignaceii » 23 Jun 2017, 17:33

SafeX schreef:Je laatste term klopt niet! Ga dat na ...

Of anders: breuksplitsing



@arie: de eerste term is 1/(2*3)



Ja breuken kunnen we wel optellen. Maar dit is niet echt een hint.
ignaceii
Vast lid
Vast lid
 
Berichten: 27
Geregistreerd: 20 Jul 2012, 22:24

Re: Verzin een formule

Berichtdoor ignaceii » 23 Jun 2017, 17:54

Laatste term is natuurlijk 1/n(n+1). Sorry.

1/2 + 1/6 + 1/12 = 72/144 + 24/144 + 12/144. = (12x6 + 12x2 + 12x1)/12**2

Enfin. Mooie verwantschappen. Met de volgende term krijgen 144x20 als deler.
ignaceii
Vast lid
Vast lid
 
Berichten: 27
Geregistreerd: 20 Jul 2012, 22:24

Re: Verzin een formule

Berichtdoor arie » 23 Jun 2017, 19:47

ignaceii schreef:Patroon is duidelijk 1/n(n+1) per term. Formule moet per term de waarde geven. Is nog wat anders
Ook schuiven de delers op met 2 meer dan de vorige.

2, 6, 12, 20
Verschillen zijn
4, 6, 8

Maar wat ben ik hiermee ?


Ik bedoelde niet de noemers, maar de volledige breuken en de som daarvan, dus:

Als n=1:



Als n=2:



Wat komt hier uit voor n=3 en n=4?

En wat voor n in het algemeen?


PS: is de eerste term van de opgave 1/1.2 of is de eerste term 1/2.3 ??
arie
Moderator
Moderator
 
Berichten: 3009
Geregistreerd: 09 Mei 2008, 09:19

Re: Verzin een formule

Berichtdoor arie » 23 Jun 2017, 19:53

Aanvulling na je latere post:

Hier ben je al goed op weg voor n=3:

ignaceii schreef:Laatste term is natuurlijk 1/n(n+1). Sorry.

1/2 + 1/6 + 1/12 = 72/144 + 24/144 + 12/144. = (12x6 + 12x2 + 12x1)/12**2

Enfin. Mooie verwantschappen. Met de volgende term krijgen 144x20 als deler.


Merk op:

1/2 + 1/6 + 1/12 = 6/12 + 2/12 + 1/12 = 9/12 = 3/4

voor n=4 vinden we dus:

1/2 + 1/6 + 1/12 + 1/20 = 3/4 + 1/20 = ...

en de totale sommen:
n=1 => sommatie = 1/2
n=2 => sommatie = 2/3
n=3 => sommatie = 3/4
n=4 => sommatie = ...

Kan je de einduitkomst voor n in het algemeen uitdrukken in n?
Kan je dat resultaat bewijzen via volledige inductie?
arie
Moderator
Moderator
 
Berichten: 3009
Geregistreerd: 09 Mei 2008, 09:19

Re: Verzin een formule

Berichtdoor SafeX » 23 Jun 2017, 21:22

ignaceii schreef:Ja breuken kunnen we wel optellen. Maar dit is niet echt een hint.


Probeer nu maar de manier van arie te begrijpen.
Als je wilt, het is een echte hint, kunnen we hier later op terugkomen.
SafeX
Moderator
Moderator
 
Berichten: 14198
Geregistreerd: 29 Dec 2005, 11:53

Re: Verzin een formule

Berichtdoor ignaceii » 24 Jun 2017, 07:30

Voor n=4

4/5

We krijgen 4/5, 5/6... nog te bewijzen.
Juist. Bedankt.
ignaceii
Vast lid
Vast lid
 
Berichten: 27
Geregistreerd: 20 Jul 2012, 22:24

Re: Verzin een formule

Berichtdoor ignaceii » 24 Jun 2017, 07:33

Ja, voor. 1/20 had ik 240 als gemene deler. Wat rekenwerk gaf me inderdaad 4/5.
Toch fijn.
ignaceii
Vast lid
Vast lid
 
Berichten: 27
Geregistreerd: 20 Jul 2012, 22:24

Re: Verzin een formule

Berichtdoor ignaceii » 24 Jun 2017, 08:08

N0/(n0+ 1 )+ ( n0+1)/(n0+2) = (n0(n0+2) + 1)/(n0+1)(n0+2) = ( n0 + 1)**2/(n0+1)(n0+ 1 + 1)

=. (n0+1)/n0+2)

QED.
ignaceii
Vast lid
Vast lid
 
Berichten: 27
Geregistreerd: 20 Jul 2012, 22:24

Re: Verzin een formule

Berichtdoor SafeX » 24 Jun 2017, 09:18

Ken je de bewijsmethode: volgens volledige inductie.
Of Heb je daar al eerder mee kennisgemaakt?
SafeX
Moderator
Moderator
 
Berichten: 14198
Geregistreerd: 29 Dec 2005, 11:53

Re: Verzin een formule

Berichtdoor ignaceii » 24 Jun 2017, 10:06

Wel, ik heb ze eigenlijk zelf aangeleerd.
Wiskundeonderwijs voor de unief in Belgie besteedt daar geen aandacht aan. Bewijzen in het algemeen , door contradictie, inductie, niet. In 1980 stonden we dan in het eerste jaar geconfronteerd met genormeerde metrische ruimtem, en bewijzen.
Ook in de oefeningen mocht een integraal kettingregel niet wordentoegepast of het moest eerst worden bewezen dat je hem mocht begrijpen.
Veel van die eerstejaarsstof zit nu in het 2 de jaar of ze krijgen er niemand door.

Rijen en reeksen is niet zo nieuw dus, maar nu ben ik 56 en kan moeilijk doorwerken wegens een chronische aandoening.
Ook zitten en zo gaat niet lang.
Ik vraag me dus af wat ik aan het doen ben.
De interesse zeker.

Mijn bewijs hier voor n0+1 of n is makkelijk eens je de oplossing hebt voor n0.

Of ik nu verder kan doen weet ik niet.
Zit nu op de oefening 1/2**2 + 1/3**2.....+ 1/100**2 < 2.

Weer zo'n breintreiteraar :).

Ik weet niet of ik je vraag heb beantwoord.
ignaceii
Vast lid
Vast lid
 
Berichten: 27
Geregistreerd: 20 Jul 2012, 22:24

Re: Verzin een formule

Berichtdoor SafeX » 24 Jun 2017, 11:34

ignaceii schreef:Zit nu op de oefening 1/2**2 + 1/3**2.....+ 1/100**2 < 2.


Deze kan op dezelfde manier als de vorige aangepakt worden met breuksplitsing.
Ik vroeg je, of je dit nog wilde?
SafeX
Moderator
Moderator
 
Berichten: 14198
Geregistreerd: 29 Dec 2005, 11:53

Volgende

Terug naar Analyse & calculus

Wie is er online?

Gebruikers in dit forum: Geen geregistreerde gebruikers en 3 gasten

cron

Wie is er online?

Er zijn in totaal 3 gebruikers online :: 0 geregistreerd, 0 verborgen en 3 gasten (Gebaseerd op de gebruikers die actief waren gedurende 5 minuten)
De meeste gebruikers ooit tegelijkertijd online was 649 op 31 Okt 2014, 18:45

Gebruikers in dit forum: Geen geregistreerde gebruikers en 3 gasten
Copyright © 2009 Afterburner - Free GPL Template. All Rights Reserved.