Verzin een formule
Verzin een formule
Van Rooij pag 17.
Opgave 2.C
Verzin een formule.
1/2.3 + 1/3.4 +..... +n/n+1
Kan iemand een aanzet geven. En hoe hij dit aangepakt heeft ?
Bedankt.
Ignace.
Opgave 2.C
Verzin een formule.
1/2.3 + 1/3.4 +..... +n/n+1
Kan iemand een aanzet geven. En hoe hij dit aangepakt heeft ?
Bedankt.
Ignace.
Re: Verzin een formule
Je bedoelt waarschijnlijk:
Een mogelijkheid:
Reken eerst de eerste waarden eens uit (bijvoorbeeld voor n=1 t/m n=4):
etc.
Zie je een patroon (uitgedrukt in n)?
Bewijs tenslotte met behulp van volledige inductie dat je gevonden patroon juist is.
Kom je hiermee verder?
Een mogelijkheid:
Reken eerst de eerste waarden eens uit (bijvoorbeeld voor n=1 t/m n=4):
etc.
Zie je een patroon (uitgedrukt in n)?
Bewijs tenslotte met behulp van volledige inductie dat je gevonden patroon juist is.
Kom je hiermee verder?
Re: Verzin een formule
Je laatste term klopt niet! Ga dat na ...
Of anders: breuksplitsing
@arie: de eerste term is 1/(2*3)
Of anders: breuksplitsing
@arie: de eerste term is 1/(2*3)
Re: Verzin een formule
arie schreef:Je bedoelt waarschijnlijk:
Een mogelijkheid:
Reken eerst de eerste waarden eens uit (bijvoorbeeld voor n=1 t/m n=4):
etc.
Zie je een patroon (uitgedrukt in n)?
Bewijs tenslotte met behulp van volledige inductie dat je gevonden patroon juist is.
Kom je hiermee verder?
Niet echt.
Patroon is duidelijk 1/n(n+1) per term. Formule moet per term de waarde geven. Is nog wat anders
Ook schuiven de delers op met 2 meer dan de vorige.
2, 6, 12, 20
Verschillen zijn
4, 6, 8
Maar wat ben ik hiermee ?
Re: Verzin een formule
SafeX schreef:Je laatste term klopt niet! Ga dat na ...
Of anders: breuksplitsing
@arie: de eerste term is 1/(2*3)
Ja breuken kunnen we wel optellen. Maar dit is niet echt een hint.
Re: Verzin een formule
Laatste term is natuurlijk 1/n(n+1). Sorry.
1/2 + 1/6 + 1/12 = 72/144 + 24/144 + 12/144. = (12x6 + 12x2 + 12x1)/12**2
Enfin. Mooie verwantschappen. Met de volgende term krijgen 144x20 als deler.
1/2 + 1/6 + 1/12 = 72/144 + 24/144 + 12/144. = (12x6 + 12x2 + 12x1)/12**2
Enfin. Mooie verwantschappen. Met de volgende term krijgen 144x20 als deler.
Re: Verzin een formule
Ik bedoelde niet de noemers, maar de volledige breuken en de som daarvan, dus:ignaceii schreef: Patroon is duidelijk 1/n(n+1) per term. Formule moet per term de waarde geven. Is nog wat anders
Ook schuiven de delers op met 2 meer dan de vorige.
2, 6, 12, 20
Verschillen zijn
4, 6, 8
Maar wat ben ik hiermee ?
Als n=1:
Als n=2:
Wat komt hier uit voor n=3 en n=4?
En wat voor n in het algemeen?
PS: is de eerste term van de opgave 1/1.2 of is de eerste term 1/2.3 ??
Re: Verzin een formule
Aanvulling na je latere post:
Hier ben je al goed op weg voor n=3:
1/2 + 1/6 + 1/12 = 6/12 + 2/12 + 1/12 = 9/12 = 3/4
voor n=4 vinden we dus:
1/2 + 1/6 + 1/12 + 1/20 = 3/4 + 1/20 = ...
en de totale sommen:
n=1 => sommatie = 1/2
n=2 => sommatie = 2/3
n=3 => sommatie = 3/4
n=4 => sommatie = ...
Kan je de einduitkomst voor n in het algemeen uitdrukken in n?
Kan je dat resultaat bewijzen via volledige inductie?
Hier ben je al goed op weg voor n=3:
Merk op:ignaceii schreef:Laatste term is natuurlijk 1/n(n+1). Sorry.
1/2 + 1/6 + 1/12 = 72/144 + 24/144 + 12/144. = (12x6 + 12x2 + 12x1)/12**2
Enfin. Mooie verwantschappen. Met de volgende term krijgen 144x20 als deler.
1/2 + 1/6 + 1/12 = 6/12 + 2/12 + 1/12 = 9/12 = 3/4
voor n=4 vinden we dus:
1/2 + 1/6 + 1/12 + 1/20 = 3/4 + 1/20 = ...
en de totale sommen:
n=1 => sommatie = 1/2
n=2 => sommatie = 2/3
n=3 => sommatie = 3/4
n=4 => sommatie = ...
Kan je de einduitkomst voor n in het algemeen uitdrukken in n?
Kan je dat resultaat bewijzen via volledige inductie?
Re: Verzin een formule
Probeer nu maar de manier van arie te begrijpen.ignaceii schreef:Ja breuken kunnen we wel optellen. Maar dit is niet echt een hint.
Als je wilt, het is een echte hint, kunnen we hier later op terugkomen.
Re: Verzin een formule
Voor n=4
4/5
We krijgen 4/5, 5/6... nog te bewijzen.
Juist. Bedankt.
4/5
We krijgen 4/5, 5/6... nog te bewijzen.
Juist. Bedankt.
Re: Verzin een formule
Ja, voor. 1/20 had ik 240 als gemene deler. Wat rekenwerk gaf me inderdaad 4/5.
Toch fijn.
Toch fijn.
Re: Verzin een formule
N0/(n0+ 1 )+ ( n0+1)/(n0+2) = (n0(n0+2) + 1)/(n0+1)(n0+2) = ( n0 + 1)**2/(n0+1)(n0+ 1 + 1)
=. (n0+1)/n0+2)
QED.
=. (n0+1)/n0+2)
QED.
Re: Verzin een formule
Ken je de bewijsmethode: volgens volledige inductie.
Of Heb je daar al eerder mee kennisgemaakt?
Of Heb je daar al eerder mee kennisgemaakt?
Re: Verzin een formule
Wel, ik heb ze eigenlijk zelf aangeleerd.
Wiskundeonderwijs voor de unief in Belgie besteedt daar geen aandacht aan. Bewijzen in het algemeen , door contradictie, inductie, niet. In 1980 stonden we dan in het eerste jaar geconfronteerd met genormeerde metrische ruimtem, en bewijzen.
Ook in de oefeningen mocht een integraal kettingregel niet wordentoegepast of het moest eerst worden bewezen dat je hem mocht begrijpen.
Veel van die eerstejaarsstof zit nu in het 2 de jaar of ze krijgen er niemand door.
Rijen en reeksen is niet zo nieuw dus, maar nu ben ik 56 en kan moeilijk doorwerken wegens een chronische aandoening.
Ook zitten en zo gaat niet lang.
Ik vraag me dus af wat ik aan het doen ben.
De interesse zeker.
Mijn bewijs hier voor n0+1 of n is makkelijk eens je de oplossing hebt voor n0.
Of ik nu verder kan doen weet ik niet.
Zit nu op de oefening 1/2**2 + 1/3**2.....+ 1/100**2 < 2.
Weer zo'n breintreiteraar .
Ik weet niet of ik je vraag heb beantwoord.
Wiskundeonderwijs voor de unief in Belgie besteedt daar geen aandacht aan. Bewijzen in het algemeen , door contradictie, inductie, niet. In 1980 stonden we dan in het eerste jaar geconfronteerd met genormeerde metrische ruimtem, en bewijzen.
Ook in de oefeningen mocht een integraal kettingregel niet wordentoegepast of het moest eerst worden bewezen dat je hem mocht begrijpen.
Veel van die eerstejaarsstof zit nu in het 2 de jaar of ze krijgen er niemand door.
Rijen en reeksen is niet zo nieuw dus, maar nu ben ik 56 en kan moeilijk doorwerken wegens een chronische aandoening.
Ook zitten en zo gaat niet lang.
Ik vraag me dus af wat ik aan het doen ben.
De interesse zeker.
Mijn bewijs hier voor n0+1 of n is makkelijk eens je de oplossing hebt voor n0.
Of ik nu verder kan doen weet ik niet.
Zit nu op de oefening 1/2**2 + 1/3**2.....+ 1/100**2 < 2.
Weer zo'n breintreiteraar .
Ik weet niet of ik je vraag heb beantwoord.
Re: Verzin een formule
Deze kan op dezelfde manier als de vorige aangepakt worden met breuksplitsing.ignaceii schreef: Zit nu op de oefening 1/2**2 + 1/3**2.....+ 1/100**2 < 2.
Ik vroeg je, of je dit nog wilde?