Wiskundeforum

Weet een van jullie misschien of het onderstaande probleem nieuw is of zo oud als sintjuttimus?
Schrijf op de eerste regel allemaal 1 men.
Schrijf op de tweede regel onder elke tweede 1 een 2.
Schrijf op de derde regel onder elke derde 1 een 3.
Enz. Enz.
De periode op de eerste regel is 1 want na elke 1 herhaalt zich het patroon!
De periode van de eerste twee regels is 2, want het patroon herhaalt zich na twee 1-nen.
De periode van de eerste drie regels is 6. Enz. Enz.
Neem nu m(2) =2
En met inductie m(n)=kgv(n,m(n-1))
Dan worden de getallen m(n) ingeklemd door een tweeling priem, dus
m(n)-1 en m(n)+1 zijn priemgetallen!
Er zijn dus oneindig veel priemgetal Ingen!
Merk wel op dat met deze methode niet alle tweeling priemen worden gevonden, maar dat heeft te maken met een ander artikeltje van mij op deze site.
Ben benieuwd naar jullie reacties!
Groet, donkiesjot.

Donkiesjot schreef:...Dan worden de getallen m(n) ingeklemd door een tweeling priem, dus
m(n)-1 en m(n)+1 zijn priemgetallen!...

Dit geldt helaas niet voor elke n:

m[2] = 2
-- 1 is per definitie geen priem
-- 3 = priem
m[3] = kgv(3,m[2]) = 6
-- 5 = priem
-- 7 = priem
m[4] = kgv(4,m[3]) = 12
-- 11 = priem
-- 13 = priem
m[5] = kgv(5,m[4]) = 60
-- 59 = priem
-- 61 = priem
m[6] = kgv(6,m[5]) = 60 = m[5]
m[7] = kgv(7,m[6]) = 420
-- 419 = priem
-- 421 = priem
m[8] = kgv(8,m[7]) = 840
-- 839 = priem
-- 841 = 29^2
m[9] = kgv(9,m[8]) = 2520
-- 2519 = 11 * 229
-- 2521 = priem
m[10] = kgv(10,m[9]) = 2520 = m[9]
m[11] = kgv(11,m[10]) = 27720
-- 27719 = 53 * 523
-- 27721 = 19 * 1459
m[12] = kgv(12,m[11]) = 27720 = m[11]

Hoi Arie,
Allereerst dank voor je uitgebreide reactie! Ik waardeer je bijdrage ook al bleek ze voor mij een ontchoogeling. Zou jij ondanks je sluitende bewijs met rekenvoorbeelden willen aangeve wat er mis gaat in mijn redenering met periodes?
Alvast dank!
Vr. Gr. Walter Knippers

m[n] is deelbaar door alle k waarvoor geldt: 2 <= k <= n
dus
(m[n] + 1) geeft bij deling door al die k rest 1
(m[n] - 1) geeft bij deling door al die k rest (k-1)

(m[n] + 1) en (m[n] - 1) zijn dus niet deelbaar door alle k waarvoor geldt: 2 <= k <= n

Maar dat betekent niet dat (m[n] + 1) of (m[n] - 1) priem zijn:
er kan een q bestaan waarvoor geldt n < q < (m[n] - 1) die
(m[n] + 1) of (m[n] - 1) WEL deelt.

En dat bleek voor het eerst bij m[8]:
m[8]+1 = 841 is NIET deelbaar door 2 t/m 8, maar wel deelbaar door 29 (en 8 < 29 < 839)

Dank Arie,
Nu zie ik welke grote denkfout ik heb gemaakt!
Vr. Gr.