Differentiaalvergelijking: general solution

Integraalrekening, afgeleiden, rijen, convergentie & divergentie van reeksen, meervoudige integratie.

Differentiaalvergelijking: general solution

Berichtdoor Bryan1995 » 17 Mrt 2018, 17:11

Beste forumleden,

Ik heb een vraagje. Ik wil vooraf alvast zeggen dat dit geen officieel vraagstuk is, maar een vraag die in mij opkwam tijdens het maken van mijn huiswerk (dus ik weet niet zeker ofdat er een antwoord is).

Ik heb afgeleid de volgende differentiaal vergelijking (deze klopt):


Ik moet nu aantonen dat de general solution is van deze vergelijking (met A en B zijn constanten).

Niet heel moeilijk. Ik differentieer de term eerst één keer, vervolgens nog een keer en vul de gevonden afgeleiden in de diff. v. Een beetje versimpelen en alle termen vallen tegen elkaar weg, waardoor ik 0 overhoud en de vraag bewezen is.

Echter heb ik recent ook Calculus colleges gevolgd waar we de differentiaal vergelijking moesten oplossen. In dit geval hoef ik alleen te kijken naar de homogene oplossing met maar één variabele. Dit zou leiden tot het volgende antwoord als general solution:



Nu was ik eigenlijk benieuwd, is er een mogelijkheid om vanuit het antwoord met de e-machten tot het simpelere antwoord te komen. (just curious)

Alvast bedankt!
Bryan1995
Vast lid
Vast lid
 
Berichten: 40
Geregistreerd: 20 Okt 2017, 12:51

Re: Differentiaalvergelijking: general solution

Berichtdoor arno » 17 Mrt 2018, 18:04

De functie met de e-machten is een functie van r en t, terwijl jouw oorspronkelijke functie uitsluitend van r afhangt. Kun je eens aangeven van welke homogene d.v. je precies uitgaat?
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel
arno
Vergevorderde
Vergevorderde
 
Berichten: 1786
Geregistreerd: 25 Dec 2008, 16:28
Woonplaats: Beek en Donk, Noord-Brabant

Re: Differentiaalvergelijking: general solution

Berichtdoor Bryan1995 » 17 Mrt 2018, 18:39

Ik ga uit van deze diff. v. :


Hierbij is een functie van .

Dit kunnen we ook schrijven als:


Oplossen voor lambda met behulp van de abc-formule levert op:




Dit zijn 2 verschillende reële antwoorden, dus kiezen we voor de vorm:


Of moeten deze 't' nu 'r' zijn omdat ur een functie is van r?
Bryan1995
Vast lid
Vast lid
 
Berichten: 40
Geregistreerd: 20 Okt 2017, 12:51

Re: Differentiaalvergelijking: general solution

Berichtdoor arno » 17 Mrt 2018, 19:15

Bryan1995 schreef:Ik ga uit van deze diff. v. :


Hierbij is een functie van .

Dit is correct.

Bryan1995 schreef:Dit kunnen we ook schrijven als:

Waarop baseer je deze schrijfwijze?
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel
arno
Vergevorderde
Vergevorderde
 
Berichten: 1786
Geregistreerd: 25 Dec 2008, 16:28
Woonplaats: Beek en Donk, Noord-Brabant

Re: Differentiaalvergelijking: general solution

Berichtdoor Bryan1995 » 18 Mrt 2018, 11:45

Waarop baseer je deze schrijfwijze?


Op deze manier heeft de docent ons dit uitgelegd.
Met de voorwaarden dat dit mag voor het homogene deel van het antwoord en enkel voor een D.V. waarbij we te maken hebben met maar één variabele. Bij meerdere variabelen passen we de methode 'Seperation of variables' toe.
Bryan1995
Vast lid
Vast lid
 
Berichten: 40
Geregistreerd: 20 Okt 2017, 12:51

Re: Differentiaalvergelijking: general solution

Berichtdoor arno » 18 Mrt 2018, 13:27

Bryan1995 schreef:
Waarop baseer je deze schrijfwijze?


Op deze manier heeft de docent ons dit uitgelegd.

Kun je in dat geval eens een concreet voorbeeld geven waarbij je dit toepast? Het is voor mij namelijk niet duidelijk waar de variabele t precies vandaan komt.
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel
arno
Vergevorderde
Vergevorderde
 
Berichten: 1786
Geregistreerd: 25 Dec 2008, 16:28
Woonplaats: Beek en Donk, Noord-Brabant

Re: Differentiaalvergelijking: general solution

Berichtdoor Bryan1995 » 18 Mrt 2018, 18:59

Kun je in dat geval eens een concreet voorbeeld geven waarbij je dit toepast?


Vraagstelling: Find the general solution of the following differential equation:


Ook te schrijven als (om het te laten lijken op mijn oorspronkelijke vraag):


Hierbij concludeer ik dat het enkel een homogene oplossing voldoet en dat je maar te maken hebt met één variabele.

De volgende stap is nu:


resulterend in:





Ik hoop dat deze uitwerking het verduidelijkt.
Bryan1995
Vast lid
Vast lid
 
Berichten: 40
Geregistreerd: 20 Okt 2017, 12:51

Re: Differentiaalvergelijking: general solution

Berichtdoor arno » 18 Mrt 2018, 19:35

Bryan1995 schreef:
Kun je in dat geval eens een concreet voorbeeld geven waarbij je dit toepast?


Vraagstelling: Find the general solution of the following differential equation:

We hebben hier te maken met een lineaire d.v. van de tweede orde met constante coëfficiënten, maar de oorspronkelijke d.v. is een d.v. waarin geen constante coëfficiënten voorkomen. Je hebt voor de oorspronkelijke d.v. dus een heel ander soort oplossingsmethode nodig.
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel
arno
Vergevorderde
Vergevorderde
 
Berichten: 1786
Geregistreerd: 25 Dec 2008, 16:28
Woonplaats: Beek en Donk, Noord-Brabant

Re: Differentiaalvergelijking: general solution

Berichtdoor Bryan1995 » 18 Mrt 2018, 20:40

Maar de oorspronkelijke d.v. is een d.v. waarin geen constante coëfficiënten voorkomen.


Ahaa, dank u wel dat verklaard een hoop. Ik heb nooit geweten dat hier ook nog onderscheidt tussen werd gemaakt bij het oplosssen van een d.v.
Bryan1995
Vast lid
Vast lid
 
Berichten: 40
Geregistreerd: 20 Okt 2017, 12:51


Terug naar Analyse & calculus

Wie is er online?

Gebruikers in dit forum: Geen geregistreerde gebruikers en 9 gasten

cron

Wie is er online?

Er zijn in totaal 9 gebruikers online :: 0 geregistreerd, 0 verborgen en 9 gasten (Gebaseerd op de gebruikers die actief waren gedurende 5 minuten)
De meeste gebruikers ooit tegelijkertijd online was 649 op 31 Okt 2014, 18:45

Gebruikers in dit forum: Geen geregistreerde gebruikers en 9 gasten
Copyright © 2009 Afterburner - Free GPL Template. All Rights Reserved.