Machtreeksen van functies

Integraalrekening, afgeleiden, rijen, convergentie & divergentie van reeksen, meervoudige integratie.
Plaats reactie
Bagration
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 5
Lid geworden op: 28 jul 2018, 19:17

Machtreeksen van functies

Bericht door Bagration » 28 jul 2018, 19:20

Hallo,

Deze vraag gaat over een vergelijking van 2 oefeningen met als onderwerp het berekenen van machtreeksen van functies:

Oef. 1: f(x)= 1/(1+3x)


1ste reeks= -3

2de reeks= 18

3de reeks= -162

4de reeks= 1944

Totale machtreeks ((gebruik gemaakt van faculteit (!))= 1-3x+9x^2-27x^3+81x^4


Oef. 2:

Oef. 1: f(x)= 1/(3+x)


1ste reeks= 1/3

2de reeks= -1/9

3de reeks= 1/27

4de reeks= -1/81


Totale machtreeks= 1/3-1/9x+1/27x^2-1/81x^3

Waarom gebruikt men bij oefening 1 faculteiten om de oplossing te bekomen, en bij oefening 2 niet?


Bedankt om dit na te kijken!

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3071
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Machtreeksen van functies

Bericht door arie » 28 jul 2018, 20:45

Je schreef:

f(x)= 1/(3+x)
1ste reeks= 1/3
2de reeks= -1/9
3de reeks= 1/27
4de reeks= -1/81

Kijk nog eens goed naar de rode cijfers.
Begin je bij de eerste of de nulde coëfficiënt??


PS:
Het is handig om ook op je benamingen van de machtreeksen te letten
(zie bijv. https://nl.wikipedia.org/wiki/Machtreeks):
In een machtreeks (dit is de volledige sommatie):



zijn



de termen, en



de coëfficiënten.

In een Maclaurin-reeks is de n-de coëfficiënt (behorend bij de n-de term)



dus de n-de afgeleide van f in nul, gedeeld door n!.

Bagration
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 5
Lid geworden op: 28 jul 2018, 19:17

Re: Machtreeksen van functies

Bericht door Bagration » 29 jul 2018, 14:20

Hallo arie,

Hartelijk bedankt voor de uitgebreide reactie. Ik begin inderdaad bij de nulde coëfficiënt en niet bij de eerste (foutje van mij). Als ik het goed begrijp moet men de Maclaurin-reeks toepassen als de functie niet differentieerbaar is in het punt nul (bv. sin(0), e^0, 1/0 enz.), anders past men de Taylor-reeks toe. Nogmaals dank voor de reactie!

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3071
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Machtreeksen van functies

Bericht door arie » 29 jul 2018, 17:21

De Taylorreeks van functie f in getal a is de machtreeks



waarbij f oneindig vaak differentieerbaar is in getal a.

De Maclaurinreeks is precies dezelfde machtreeks voor a = 0, waarbij f nog steeds oneindig vaak differentieerbaar moet zijn. Het enige verschil met de Taylorreeks is dat we nu a = 0 vastgelegd hebben:



Zie ook https://nl.wikipedia.org/wiki/Maclaurin-reeks.
Bovendien hebben ze op die pagina als tweede voorbeeld de functie f(x) = sin(x) genomen.
Merk op: deze functie is ook in punt nul oneindig vaak differentieerbaar.

Bagration
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 5
Lid geworden op: 28 jul 2018, 19:17

Re: Machtreeksen van functies

Bericht door Bagration » 02 aug 2018, 14:30

Ik snap het. Bedankt voor al deze moeite arie!

Plaats reactie