Integreren, primitieve van functie h(x)=f(x)*g(x)

Thomas · Bericht door **Thomas** » 10 okt 2007, 15:40

Ik weet namelijk wel hoe je deze kan differentiëren en sinds kort weet ik een beetje hoe je deze moet primitiveren. Nu liep ik alleen tegen een probleem aan bij sommige formules.
$h(x)=f(x) \cdot g(x)$
$H(x)=f(x) \cdot g(x) - \int f'(x) \cdot G(x)$

Als $f'(x) \cdot G(x)$ ook weer een product is van twee functies moet dit voor deze ook gedaan worden.

$h(x)=\frac{6x^3}{e}$
$h(x)=6x^3 \cdot e^{-x}$
$f(x)=6x^3$ en $g(x)=e^{-x}$

$H(x)=6x^3 \cdot e^{-x} - \int 18x^2 \cdot -e^{-x}$

$H(x)=6x^3 \cdot e^{-x} + 18x^2 \cdot e^{-x} - \int 36x \cdot e^{-x}$

$H(x)=6x^3 \cdot e^{-x} + 18x^2 \cdot e^{-x} - 36x \cdot e^{-x} - \int 36 \cdot -e^{-x}$

$H(x)=6x^3 \cdot e^{-x} + 18x^2 \cdot e^{-x} - 36x \cdot e^{-x} + 36 \cdot e^{-x}$

$H(x)=e^{-x} \cdot (6x^3 + 18x^2 - 36x + 36)$

Controleren door differentiëren:
$H(x)=k(x) \cdot l(x)$ $H'(x)=k'(x) \cdot l(x) + k(x) \cdot l'(x)$

$h(x)=-e^{-x} \cdot (6x^3 + 18x^2 - 36x + 36) + e^{-x} \cdot (18x^2 + 36x - 36)$
volgens mij heb ik ergens iets fout gedaan.
$h(x)=e^{-x} \cdot (-6x^3)$

Ik zit met dat minteken nu, dat klopt niet. Misschien weet iemand waar ik de mist in ben gegaan.

EDIT: Ok, dat is niet cool, nou ben ik het weer vergeten >_<

Normaal gaat het wel goed, maar nu mijn vraag. Kan iemand voordoen hoe je $h(x)=e^x \cdot sin(x)$ kan primitiveren? Ik kwam er maar niet uit, ik bleef rondjes draaien op het eindje met dat $\int$ gedoe.

Bericht door **SafeX** » 10 okt 2007, 18:05

Thomas schreef:Ik weet namelijk wel hoe je deze kan differentiëren en sinds kort weet ik een beetje hoe je deze moet primitiveren. Nu liep ik alleen tegen een probleem aan bij sommige formules.
$h(x)=f(x) \cdot g(x)$
$H(x)=f(x) \cdot g(x) - \int f'(x) \cdot G(x)$

Staat dit zo in je boek, ik ken deze notatie niet!?!

Thomas · Bericht door **Thomas** » 10 okt 2007, 21:57

Nope, half half van een vriend gehoord over de telefoon. Ik heb dat er in ieder geval van gemaakt. Maar het klopt wel, op een fout die ik heb gemaakt.

Maargoed, hoe moet het dan wel? Zou iemand mij het kunnen uitleggen?

Hmm, hij klopt helemaal niet meer.... Dat is vreemd (of niet). Maar wel vervelend. Nu wil ik helemaal weten hoe het moet >_< alsjeblieffft!

Bericht door **SafeX** » 11 okt 2007, 09:04

Waar komt de partiële integratie (pI) vandaan?
Bekijk: h(x)=f(x)g(x) en differentiëer naar x: h'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)=>f'(x)g(x)=h'(x)-f(x)g'(x).
Primitiveren levert: $\int{f'(x)g(x)dx}=h(x)-\int{f(x)g'(x)dx}=f(x)g(x)-\int{f(x)g'(x)dx}$
vb h(x)=xsin(x), kies f'(x)=sin(x) (dus f(x)=-cos(x)) en g(x)=x (met g'(x)=1), dus
$\int{x\sin(x)dx}=-x\cos(x)-\int{(-\cos(x)\cdot 1)dx}=-x\cos(x)+\sin(x)+C$ ,
controleer door te differentiëren.
Ga na dat met de andere keuze dit niet lukt.

Probeer nu zelf: h(x)=x^2sin(x), (dit moet tweemaal met pI)

Thomas · Bericht door **Thomas** » 24 okt 2007, 16:42

Ik schrijf jouw post even een stukje over met alles onder elkaar en in tex.

$h(x)=f(x) \cdot g(x)$
$h'(x)=f'(x) \cdot g(x)+f(x) \cdot g'(x)$
$f'(x) \cdot g(x) = h'(x)-f(x) \cdot g'(x)$
$\int{f'(x) \cdot g(x)dx} = h(x)-\int{f(x) \cdot g'(x)dx} = f(x) \cdot g(x)-\int{f(x) \cdot g'(x)dx}$

Dat snap ik nog, dit rechtzetten, maar nu weet ik niet meer precies hoe je H(x) hier uit kan halen... Sorry

Zeg jij in jouw voorbeeld dat het volgende geld:?
$H(x) = F(x) \cdot g(x) - \int{F(x) \cdot g'(x)dx}$

Bericht door **SafeX** » 24 okt 2007, 20:50

Thomas schreef:

$\int{f'(x) \cdot g(x)dx} = h(x)-\int{f(x) \cdot g'(x)dx} = f(x) \cdot g(x)-\int{f(x) \cdot g'(x)dx}$
Dat snap ik nog, dit rechtzetten, maar nu weet ik niet meer precies hoe je H(x) hier uit kan halen... Sorry

Zeg jij in jouw voorbeeld dat het volgende geld:?
$H(x) = F(x) \cdot g(x) - \int{F(x) \cdot g'(x)dx}$

Nee, het is de volgende regel:

$\int{f'(x) \cdot g(x)dx} = f(x) \cdot g(x)-\int{f(x) \cdot g'(x)dx}$

Het is dit alleen.
De productfunctie die je wilt primitiveren vat je op als het product van twee functies waarvan (na keuze) één [g(x)] intact blijft en de ander gezien wordt [f'(x)]als de afgeleide met een bekende primitieve.
En kijk nu naar de toepassing! Begrijp je die dan?

De laatste regel in je tekst moet je zo snel mogelijk vergeten.

Opm: jij schrijft h(x)= f(x).g(x), maar je leest f(x) als een afgeleide van een bekende primitieve.

Wiskundeforum

Integreren, primitieve van functie h(x)=f(x)*g(x)

Integreren, primitieve van functie h(x)=f(x)*g(x)

Re: Integreren, primitieve van functie h(x)=f(x)*g(x)

Re: Integreren, primitieve van functie h(x)=f(x)*g(x)

Re: Integreren, primitieve van functie h(x)=f(x)*g(x)

Re: Integreren, primitieve van functie h(x)=f(x)*g(x)

Re: Integreren, primitieve van functie h(x)=f(x)*g(x)