Dürer's Shell Curve
Geplaatst: 05 nov 2018, 16:43
Omdat ik weinig gehoor kreeg in het middelbareschoolgedeelte van dit forum, misschien wel door de complexiteit van mijn vraag, doe ik nu hier een oproep:
Hallo
Ik zit momenteel in het zesde jaar Latijn-Wiskunde, en voor een onderzoekscompetentie werd ons gevraagd om drie verschillende bekende krommen te bestuderen. Ik heb onder meer mijn oog laten vallen op de Shell Curve van August Dürer, maar mijn pogingen om de vergelijking op te stellen lopen een beetje spaak, ergo mijn bericht op dit forum.
In mijn eigen onderzoek kwam ik uit op drie vergelijkingen die zouden moeten leiden tot de uiteindelijke uitdrukking van de kromme, zijnde:
b=r+q
a²=(x-q)²+y²
y=(-r/q)x+r
met a en b constante waarden en r en q x- en y-waarden van de respectievelijke punten op de x-as, cfr. de definitie van de kromme.
Opzoekwerk vertelt mij dat door eliminatie van r en q dit zou moeten leiden tot het impliciete voorschrift van de kromme, zijnde blijkbaar:
2y²(x²+y²)-2by²(x+y)+(b²-3a²)y²-a²x²+2a²b(x+y)+a²(a²*b²)=0
en hier spant voor mij het schoentje: ik krijg q en r niet degelijk weggewerkt. Kan iemand mij hiermee helpen?
Een eventueel tweede vraag die ik heb gaat over de parametervergelijkingen van deze curve. Ik ben in een boek de volgende tegengekomen:
x²+y²-2xt+t²-a²=0
(y-b-x)t+t²+bx=0
(In de bijgevoegde link meer uitleg en definitie van parameter t:
https://cms.math.ca/crux/backfile/Crux_v9n02_Feb.pdf - zie pagina 32)
Men gaf als verklaring hiervoor dat het te vinden was door 'elementary considerations'. Precies toch niet zo elementair, want voor mij was dit net een trapje te hoog. Iemand die me dit kan uitleggen?
Alvast bedankt voor jullie hulp!
Mabon
Hallo
Ik zit momenteel in het zesde jaar Latijn-Wiskunde, en voor een onderzoekscompetentie werd ons gevraagd om drie verschillende bekende krommen te bestuderen. Ik heb onder meer mijn oog laten vallen op de Shell Curve van August Dürer, maar mijn pogingen om de vergelijking op te stellen lopen een beetje spaak, ergo mijn bericht op dit forum.
In mijn eigen onderzoek kwam ik uit op drie vergelijkingen die zouden moeten leiden tot de uiteindelijke uitdrukking van de kromme, zijnde:
b=r+q
a²=(x-q)²+y²
y=(-r/q)x+r
met a en b constante waarden en r en q x- en y-waarden van de respectievelijke punten op de x-as, cfr. de definitie van de kromme.
Opzoekwerk vertelt mij dat door eliminatie van r en q dit zou moeten leiden tot het impliciete voorschrift van de kromme, zijnde blijkbaar:
2y²(x²+y²)-2by²(x+y)+(b²-3a²)y²-a²x²+2a²b(x+y)+a²(a²*b²)=0
en hier spant voor mij het schoentje: ik krijg q en r niet degelijk weggewerkt. Kan iemand mij hiermee helpen?
Een eventueel tweede vraag die ik heb gaat over de parametervergelijkingen van deze curve. Ik ben in een boek de volgende tegengekomen:
x²+y²-2xt+t²-a²=0
(y-b-x)t+t²+bx=0
(In de bijgevoegde link meer uitleg en definitie van parameter t:
https://cms.math.ca/crux/backfile/Crux_v9n02_Feb.pdf - zie pagina 32)
Men gaf als verklaring hiervoor dat het te vinden was door 'elementary considerations'. Precies toch niet zo elementair, want voor mij was dit net een trapje te hoog. Iemand die me dit kan uitleggen?
Alvast bedankt voor jullie hulp!
Mabon