Wiskundeforum

Hallo, hier ben ik weer!
ik heb een beetje moeilijkheden met ongelijkheden met intervallen waarbij aan beide kanten een onbekende staat, ter illustratie onderstaande opgave:

|x+3| =<|x+1|

Zou iemand mij op weg kunnen helpen aub?

Alvast bedankt!

PS sorry voor mijn typo in mijn vorige thread
PPS is het de bedoeling dat ik voor elke vraag een nieuw onderwerp aanmaak, of worden comments gelezen, zodat ik het in 1 bericht kan laten? (ik ben nieuw op het forum)

Een mogelijke uitwerking:
Werk eerst de absoluut-strepen weg:
|x+3| = -(x+3) voor x+3 < 0 ofwel x < -3
|x+3| = x+3 voor x+3 >= 0 ofwel x >= -3

|x+1| = -(x+1) voor x+1 < 0 ofwel x < -1
|x+1| = x+1 voor x+1 >= 0 ofwel x >= -1

De ongelijkheid |x+3| <= |x+1| valt hierdoor uiteen in 3 ongelijkheden:

A. als x < -3:
-x-3 <= -x-1
-3 <= -1
en dit laatste is altijd waar (dus voor alle x < -3 die we hier beschouwen)

B. als -3 <= x < -1:
x + 3 <= -x - 1
2x <= -4
x <= -2
(aanvullende) oplossingen zijn dus: -3 <= x <= -2

C. als x >= -1:
x + 3 <= x + 1
3 <= 1
dit is nooit waar, dus geen nieuwe oplossingen.

Conclusie:
Als we de resultaten van A, B en C combineren, vinden we als oplossing:
x <= -2


Een alternatieve oplossing:
Het linker- en rechter lid van de ongelijkheid zijn beide niet-negatief, we kunnen beide dus ongestraft kwadrateren: het teken kan niet omklappen:
\((x+3)^2 \leq (x+1)^2\)
\(x^2 + 6x + 9 \leq x^2 + 2x + 1\)
\(4x \leq -8\)
\(x \leq -2\)


PS: Het werkt doorgaans het handigst als je een nieuw onderwerp start. De teller van het aantal reacties staat dan op nul. Hierdoor is het voor iedereen meteen duidelijk dat de vraag nog niet beantwoord is.

Dikke merci! sorry voor het late antwoord, ik nam even een studeerpauze

Nog even een aanvulling met betrekking tot dit soort ongelijkheden:
|a|<|b| betekent dat -b<a<b
|a|≤|b| betekent dat -b≤a≤b
|a|>|b| betekent dat a<-b of a>b
|a|≥|b| betekent dat a≤-b of a≥b

Door |a| door a² en |b| door b² te vervangen vind je voor de overeenkomstige kwadratische ongelijkheden dezelfde eigenschappen.