Natuurlijke logaritmes

Integraalrekening, afgeleiden, rijen, convergentie & divergentie van reeksen, meervoudige integratie.
Plaats reactie
jekke006
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 1
Lid geworden op: 17 jul 2019, 11:09

Natuurlijke logaritmes

Bericht door jekke006 » 17 jul 2019, 12:40

Hallo,

Voor een oefening uit mijn cursus scheidingstechnieken moet ik de formule 5=ln⁡(6,5×((A-1)/A)+1)/ln⁡(A)+1 uit rekenen.
Ik verkrijg een 2e graadsfunctie met een negatieve discriminant. Dit kan echter niet.
Mijn werkwijze: 5=ln⁡(6,5×((A-1)/A)+1)/ln⁡(A)+1 -> 4=ln⁡(6,5×((A-1)/A)+1)/ln⁡(A)
->4*ln(A)=ln⁡(6,5×((A-1)/A)+1)
Hierna pak de e-macht van alles zodat de ln wordt weggewerkt en ik alles kan uitreken.

Kunnen jullie mij helpen?

arno
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1876
Lid geworden op: 25 dec 2008, 16:28
Locatie: Beek en Donk, Noord-Brabant

Re: Natuurlijke logaritmes

Bericht door arno » 17 jul 2019, 13:37

Als ik het goed begrijp wil je A oplossen uit . Links en rechts verheffen tot de macht e geeft dan: . Voor zover ik kan zien kan dit alleen numeriek worden opgelost.
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3280
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Natuurlijke logaritmes

Bericht door arie » 20 jul 2019, 15:18

Klopt je formule?
De Kremser vergelijkingen voor absorptiesystemen zeggen namelijk:

\(N \ln(A) = \ln\left( \frac{Y_{N+1}- K\cdot X_0}{Y_1 - K\cdot X_0}\cdot \frac{A-1}{A} + \frac{1}{A} \right)\)

(zie bv https://nptel.ac.in/courses/103103035/module4/lec4.pdf, formule 4.32/4.33)

Met jouw waarden (\(N=5\), \(Y_{N+1}=0.03\), \(Y_1 = 0.004\), \(X_0=0\)) levert dit:

\(A^5 = 7.5\cdot \left( 1 - \frac{1}{A}\right)+\frac{1}{A} = 7.5 - \frac{6.5}{A}\)

ofwel

\(A^6 - 7.5A + 6.5 = 0\)

Je weet ook dat

\(A = \frac{L/G}{K}\), waarbij \(G=180\) en \(K=1.1\)

en dat dus voor de operationele lijn (rood) geldt:

\(y = \frac{L}{180}\cdot x + 0.004\)

en voor de evenwichtslijn (groen):

\(y = 1.1\cdot x \)

Definieer \(r = \frac{L}{180} =\) de richtingscoëfficiënt van de operationele lijn.

Dan geldt voor een 1-staps absorptieketen:

\(r_1 = \frac{0.03-0.004}{0.004/1.1} = 7.15\) waardoor \(A_1 = \frac{7.15}{1.1} = 6.5\)

en voor N naar oneindig (waarbij ook \(L_\infty = L_{min}\) geldt):

\(r_\infty = \frac{0.03-0.004}{0.03/1.1} = 0.95333...\) waardoor \(A_\infty = \frac{0.95333...}{1.1} = 0.866666....\)

Dit zijn de bovenste 2 grafieken in dit plaatje:

Afbeelding

We hebben nu:

\(A^6 - 7.5A + 6.5 = 0\)

voor:

\(0.866666 < A < 6.5\)

In de Kremser vergelijking bovenaan moeten we nog wel kijken naar bijzonder geval A = 1:
Deze vergelijking reduceert dan tot
\(N \ln(1) = \ln(1)\)
ofwel
\(N \cdot 0 = 0\)
en dit geldt voor alle N.

Maar als A=1, dan is r = K = 1.1, en zijn alle verticale stappen even groot als \(y_1\).
In dit geval hebben we dan N = 0.03/0.004 - 1 = 7.5 - 1 = 6.5 stappen nodig om de gewenste concentratie te bereiken.
Dit is de grafiek linksonder in het plaatje.
Dus \(A_{6.5} = 1\).
Omdat N=5 ligt tussen N=1 (waarbij \(A_1=6.5\)) en N=6.5 (waarbij \(A_{6.5}=1\)) we weten nu: \(1 < A < 6.5\)

We kunnen bovenstaande vergelijking numeriek oplossen in dit laatste interval, bijvoorbeeld via een solve-functie van een rekenmachine of van een computerprogramma, of via de halveringsmethode (zie https://nl.wikipedia.org/wiki/Halveringsmethode).

Ik kom dan uit op \(A_5 = 1.08876877861\) waardoor \(r_5 = 1.197645656\)
en \(L_5 = 1.197645656 \cdot 180 = 215.58\)
Ter controle de grafiek rechts onder, waarbij we in N=5 stappen gaan van y=0.004 naar y=0.03.

Plaats reactie