Klopt je formule?
De Kremser vergelijkingen voor absorptiesystemen zeggen namelijk:
\(N \ln(A) = \ln\left( \frac{Y_{N+1}- K\cdot X_0}{Y_1 - K\cdot X_0}\cdot \frac{A-1}{A} + \frac{1}{A} \right)\)
(zie bv
https://nptel.ac.in/courses/103103035/module4/lec4.pdf, formule 4.32/4.33)
Met jouw waarden (
\(N=5\),
\(Y_{N+1}=0.03\),
\(Y_1 = 0.004\),
\(X_0=0\)) levert dit:
\(A^5 = 7.5\cdot \left( 1 - \frac{1}{A}\right)+\frac{1}{A} = 7.5 - \frac{6.5}{A}\)
ofwel
\(A^6 - 7.5A + 6.5 = 0\)
Je weet ook dat
\(A = \frac{L/G}{K}\), waarbij
\(G=180\) en
\(K=1.1\)
en dat dus voor de operationele lijn (rood) geldt:
\(y = \frac{L}{180}\cdot x + 0.004\)
en voor de evenwichtslijn (groen):
\(y = 1.1\cdot x \)
Definieer
\(r = \frac{L}{180} =\) de richtingscoëfficiënt van de operationele lijn.
Dan geldt voor een 1-staps absorptieketen:
\(r_1 = \frac{0.03-0.004}{0.004/1.1} = 7.15\) waardoor
\(A_1 = \frac{7.15}{1.1} = 6.5\)
en voor N naar oneindig (waarbij ook
\(L_\infty = L_{min}\) geldt):
\(r_\infty = \frac{0.03-0.004}{0.03/1.1} = 0.95333...\) waardoor
\(A_\infty = \frac{0.95333...}{1.1} = 0.866666....\)
Dit zijn de bovenste 2 grafieken in dit plaatje:
We hebben nu:
\(A^6 - 7.5A + 6.5 = 0\)
voor:
\(0.866666 < A < 6.5\)
In de Kremser vergelijking bovenaan moeten we nog wel kijken naar bijzonder geval A = 1:
Deze vergelijking reduceert dan tot
\(N \ln(1) = \ln(1)\)
ofwel
\(N \cdot 0 = 0\)
en dit geldt voor alle N.
Maar als A=1, dan is r = K = 1.1, en zijn alle verticale stappen even groot als
\(y_1\).
In dit geval hebben we dan N = 0.03/0.004 - 1 = 7.5 - 1 = 6.5 stappen nodig om de gewenste concentratie te bereiken.
Dit is de grafiek linksonder in het plaatje.
Dus
\(A_{6.5} = 1\).
Omdat N=5 ligt tussen N=1 (waarbij
\(A_1=6.5\)) en N=6.5 (waarbij
\(A_{6.5}=1\)) we weten nu:
\(1 < A < 6.5\)
We kunnen bovenstaande vergelijking numeriek oplossen in dit laatste interval, bijvoorbeeld via een solve-functie van een rekenmachine of van een computerprogramma, of via de halveringsmethode (zie
https://nl.wikipedia.org/wiki/Halveringsmethode).
Ik kom dan uit op
\(A_5 = 1.08876877861\) waardoor
\(r_5 = 1.197645656\)
en
\(L_5 = 1.197645656 \cdot 180 = 215.58\)
Ter controle de grafiek rechts onder, waarbij we in N=5 stappen gaan van y=0.004 naar y=0.03.