Oppervlak:
Voorbeeld: een gelijkbenige driehoek:
Bepaal het oppervlak ingesloten door:
- de positieve x-as (y=0)
- de positieve y-as (x=0)
- de lijn y = f(x) = 2 - x
dit wordt gegeven door de integraal
\(\displaystyle\int_0^2 2-x \; dx = \left[2x -\frac{1}{2}x^2 \right]_0^2 = 4 - 2 = 2\)
We integreren hier f(x) over x, de y-waarde is een functie van x
Volume:
Voorbeeld: prisma met hoogte 3 en bovenstaand oppervlak als grondvlak:
z = f(x, y) = 3
(voor alle waarden van x en y is z gelijk aan 3)
Het volume hiervan is:
\(\displaystyle\int_0^2 \displaystyle\int_0^{2-x} 3 \; dy\; dx = \displaystyle\int_0^2 \left[3y\right]_{y=0}^{2-x} \; dx= \displaystyle\int_0^2 6-3x \; dx = \left[ 6x - \frac{3}{2} x^2 \right]_0^2 = 12-6=6 \)
Losjes gezegd:
- voor het oppervlak onder een curve y = f(x) is y een functie van x, we bepalen dan
\(\displaystyle\int f(x) \; dx\)
- voor het volume onder een gekromd vlak z = f(x, y) is z een functie van x en y, we bepalen dan
\(\displaystyle\int\displaystyle\int f(x, y) \; dx \; dy\)
Bedenk: de integraal is de sommatie van alle functiewaarden over het gegeven domein:
- is het domein eendimensionaal (x), dan voegt de functiewaarde y = f(x) daar een dimensie aan toe, en krijgen we een oppervlak
- is het domein tweedimensionaal (x, y), dan voegt de functiewaarde z = f(x, y) daar ook weer een dimensie aan toe, en krijgen we een volume.
Zie bijvoorbeeld ook
https://nl.wikipedia.org/wiki/Meervoudige_integraal