Effectieve waarde van een sinus afleiden door reeksontwikkeling

Integraalrekening, afgeleiden, rijen, convergentie & divergentie van reeksen, meervoudige integratie.
Plaats reactie
Bachatero
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 3
Lid geworden op: 25 apr 2020, 13:48

Effectieve waarde van een sinus afleiden door reeksontwikkeling

Bericht door Bachatero » 30 apr 2020, 19:57

Ik probeer de effectieve waarde van een sinusvorm af te leiden. Dit lukt mij door het gebruik van de onderstaande formule (1). Ik kom dan netjes uit op \(\frac {1}{2}\sqrt{2}\)

\((1) Ieff =\sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T} sin^2( i(t)) dt}\)

Maar nu wil ik het zelfde laten zien door de sinusvorm als een reeks ontwikkeling te schrijven.
Nu wil ik ook laten zien dat je op ongeveer \(\frac {1}{2}\sqrt{2}\) uit kom

\( sin(x) = [ x -\frac {x^3}{3!}+\frac {x^5}{5!}-\frac {x^7}{7!}+\frac {x^9}{9!} ]- .... etc\)

\(x -\frac {x^3}{2!}+\frac {x^5}{5!}-\frac {x^7}{7!}+\frac {x^9}{9!} - .... etc\)

\( x^2 -\frac {x^6}{3!}+\frac {x^{10}}{5!}-\frac {x^{14}!}{7!}+ .... etc\)

\(= \int_{0}^{T}(x^2 -\frac {x^6}{3!}+\frac {x^{10}}{5!}-\frac {x^{14}}{7!})dt\)

\(=[\frac{x^3}{3*1!} -\frac {x^7}{7*3!}+\frac {x^{11}}{11*5!}- etc]\)

\(=[\frac{x^3}{3} -\frac {x^7}{42}+\frac {x^{11}}{1320}- etc]\)

Maar nu loop ik vast, want hoe ga ik nu verder zodat er ongeveer \(\frac {1}{2}\sqrt{2}\) uit komt.

Wellicht is mijn aanpak foutief. Wie kan mij hier mee verder helpen.

arno
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1923
Lid geworden op: 25 dec 2008, 16:28
Locatie: Beek en Donk, Noord-Brabant

Re: Effectieve waarde van een sinus afleiden door reeksontwikkeling

Bericht door arno » 01 mei 2020, 18:47

Je aanpak is inderdaad fout. Je veronderstelt dat de reeks van sin²x ontstaat door in de reeksontwikkeling van sin x het kwadraat van iedere term te nemen. Dat is echter niet het geval. Ga eens uit van het gegeven dat cos 2x = 1-2sin²x, dan volgt daaruit dat sin²x = ... Wat levert dat op als je met dit gegeven de integraal uitwerkt?
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

Bachatero
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 3
Lid geworden op: 25 apr 2020, 13:48

Re: Effectieve waarde van een sinus afleiden door reeksontwikkeling

Bericht door Bachatero » 03 mei 2020, 21:32

Dan kom ik inderdaad op \( \frac{1}{2}\sqrt{2}\) uit.
---------------------------
\(\omega=2\pi f\)
\(f=\frac{1}{T}\)
\(\omega=\frac{2\pi}{T}\)
\(\omega T=2\pi\)
\(2\omega t=4\pi\)
---------------------------
\(cos2\omega t\ =\ 1-2\ {sin}^{2\ }{\omega t}\)
\(2{sin}^{2\ }{\omega t\ =\ 1-cos2\omega t\ }\)
\({sin}^2{\omega t\ =\ \frac{1}{2\ }-\frac{1}{2\ }\cos{2\omega t}}\)
---------------------------
\(f(t)=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}{sin}^2{\omega t}\)
\(\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}cos\ 2\omega t\ \right)dt\)
\(Stel\ u=2\omega t\)
\(\frac{du}{dt}=2\ \ \ du=2 dt \ \ dt =\frac{1}{2} du\)
\(\int\cos{u\ \frac{1}{2}du\ }=\frac{1}{2}\int\cos{u\ du}\)
\(\int\cos{u\ du\ =\ \sin{u}}\ en\ u=\ 2\omega t\)
\(\frac{1}{2}\int{cos\ u\ du\ =\ \frac{1}{2}}\sin{2\omega t}\)
\(\frac{1}{T}\int_{0}^{T}{\left(\frac{1}{2}\right\}-\frac{1}{2}\cos{\left\{2\omega t\ \right)}dt=\frac{1}{T}\left[\frac{1}{2}t-\left(\frac{1}{2\ }\left(\frac{1}{2}\sin{2\omega t}\right)\right)\right]}\ =\ \left[\frac{1}{2}t-\left(\frac{1}{4}\sin{\left\{2\omega t\right)}\right\}\right]\)
\(2\omega t=4\pi\)
\(\frac{1}{T}\left[\frac{1}{2}t-\frac{1}{4}\sin{4\pi}\right]{T\atop0}\ =\ \frac{1}{T}\left[\frac{1}{2}t-\frac{1}{2}\ast0\right]\ -\left[\frac{1}{4}\sin{4\pi}\right]-\left[\frac{1}{4}\sin{0}\right]\)
\(\left[\frac{1}{4}\sin{4\pi}\right]\ =\ 0\ \ en\ \ \left[\frac{1}{4}\sin{0}\right]\ =\ 0\)
\(\frac{1}{T}\left[\frac{T}{2}\right]\ =\ \frac{1}{2}\)
---------------------------
\(I_{eff\ }=\ I_{max\ }\sqrt{\frac{1}{2}}=\ \frac{\sqrt1}{\sqrt2}*\frac{\sqrt2}{\sqrt2}\ =\ \frac{\sqrt2}{2}\ =\ \frac{1}{2}\sqrt2\)
---------------------------

Maar mijn vraag is nu, kan ik dit bewijs ook d.m.v. reeksontwikkeling aantonen, zoals ik dit in eerste instantie van plan was ???

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3580
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Effectieve waarde van een sinus afleiden door reeksontwikkeling

Bericht door arie » 04 mei 2020, 14:07

In feite wil je het gemiddelde van \(\sin^2(x)\) over het interval \([0, 2\pi]\) bepalen.

Via de reeksontwikkeling van \(\sin(x)\) bereken jij de reeksontwikkeling van \(\sin^2(x)\):
\(\sin^2(x) = \left(x - \frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...\right)^2\)
ofwel:
\(\sin^2(x) = x \cdot \left(x - \frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...\right)\)
\(- \frac{x^3}{3!} \cdot \left(x - \frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...\right)\)
\(+ \frac{x^5}{5!} \cdot \left(x - \frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...\right)\)
\(- \frac{x^7}{7!} \cdot \left(x - \frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...\right)\)
\(+ ...\)
\(= x^2 + \left(-\frac{1}{3!} -\frac{1}{3!}\right)x^4 + \left(\frac{1}{5!} +\frac{1}{3!\cdot 3!} +\frac{1}{5!}\right)x^6 - ....\)
\(= x^2 - \frac{1}{3}x^4 + \frac{2}{45}x^6 \;- ...\)

Deze manier levert al snel veel meerwerk om elke volgende term te berekenen.

Handiger is het om
- ofwel de vereenvoudiging van arno te gebruiken (zie hierboven)
- ofwel direct de Taylor-reeks van \(\sin^2(x)\) rond \(x=0\) te bepalen
(zie bv. https://nl.wikipedia.org/wiki/Taylorreeks).
In beide gevallen kom je dan uit op

\(\sin^2(x) = \displaystyle\sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1}\frac{2^{2k-1}}{(2k)!}\cdot x^{2k}\)

Maar dan moet je de integraal van 0 tot \(2\pi\) van deze reeks nog bepalen, en aantonen dat die convergeert naar \(\pi\).
Immers: het gemiddelde over het interval is dan \(\frac{\pi}{2\pi} = \frac{1}{2}\), en de wortel hiervan (de r.m.s. value van sin(x)) is dan \(\sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}\sqrt{2}\).
Voor een bewijs d.m.v. reeksontwikkeling heb je bovenstaande reeks (dus \(k \rightarrow \infty\)) nodig.


Zou je de reeksontwikkeling willen gebruiken om een benadering van je integraal te geven, dan kan dat ook.
Maar voor een goede benadering over interval \([0, 2\pi]\) (bij een ontwikkeling rond x = 0) heb je een Taylorpolynoom van graad 36 of hoger nodig:

Afbeelding

Hier een plaatje van de benadering van \(\sin^2(x)\) door diverse polynomen.
In blauw de 6e-graads polynoom, zoals we hierboven al zagen:

\(f(x) = \frac{2}{45}x^6 - \frac{1}{3}x^4 + x^2\)


En hier tenslotte de volledige 36e-graads polynoom:

Code: Selecteer alles

f(x) = -9.2366545025164117141472791223797390968 * 10^-32  *  x^36 
+ 2.9095461682926696899563929235496178155 * 10^-29  *  x^34 
- 8.1612770020609384803276821505566779724 * 10^-27  *  x^32 
+ 2.0239966965111127431212651733380561372 * 10^-24  *  x^30 
- 4.4021928149116702162887517520102720983 * 10^-22  *  x^28 
+ 8.3201444201830567087857408112994142658 * 10^-20  *  x^26 
- 1.3520234682797467151776828818361548182 * 10^-17  *  x^24 
+ 1.8657923862260504669452023769338936491 * 10^-15  *  x^22 
- 2.1549902060910882893217087453586471647 * 10^-13  *  x^20 
+ 2.0472406957865338748556233080907148065 * 10^-11  *  x^18 
- 1.5661391322766984142645518306893968270 * 10^-9   *  x^16 
+ 9.3968347936601904855873109841363809618 * 10^-8   *  x^14 
- 4.2755598311153866709422264977820533376 * 10^-6   *  x^12 
+ 1.4109347442680776014109347442680776014 * 10^-4   *  x^10 
- 3.1746031746031746031746031746031746032 * 10^-3   *  x^8 
+ (2/45)  *  x^6 
- (1/3)  *  x^4 
+ x^2

Bachatero
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 3
Lid geworden op: 25 apr 2020, 13:48

Re: Effectieve waarde van een sinus afleiden door reeksontwikkeling

Bericht door Bachatero » 05 mei 2020, 19:51

Beste Arie,

Dank voor je reactie en duidelijke uitleg.
Inderdaad, niet de meest eenvoudige manier om de effectieve waarde van een sinusvorm aan te tonen.
Wel weer veel van geleerd van je uitgebreide uitleg.

Bachatero

Plaats reactie