2 Vragen Mathematische Inductie

[Maartje]

Zouden jullie me kunnen helpen?

Vraag 1:

Gegeven is de functie f(x)=x^2cosh(x) en een even getal 2m>0 Bewijs met volledige inductie dat de 2m-de afgeleide van f gelijk is aan (x^2+4m^2-2m)cosh(x)+4mxsinh(x)

Vraag 2:

Gegeven is de functie f(x)=xe^(-x) Laat zien dat voor elk geheel getal n is groter of gelijk aan 1 de n-de afgeleide f^(n) van f gegeven wordt door f^(n)(x)=(-1)^n (x-n)e^(-x)

Heel erg bedankt alvast!

Groetjes,

Maartje

[SafeX]

Kan je een begin maken met het bewijs (1 of 2), dan kan ik misschien zien wat je probleem is.

[Maartje]

Ja, ik ben later ingestroomd en moet dit onderdeel zonder colleges inhalen, ik snap gewoon niet echt hoe ik dit moet aanpakken. Ik snap wel bij de ene dat als je 1 invult dat het dan klopt:

de afgeleide van xe^(-x) is gelijk aan -1(x-1)e^(-x)
En dan? moet ik dan iets met k invullen? Ik begrijp niet echt hoe ik nu verder moet.

Bij de die andere snap ik helemaal niet wat ik moet doen? Wat wordt er bedoeld met 2m, en de 2m-de afgeleide?

[SafeX]

Bij vraag 2 moet je beginnen n=1 te controleren.
Tweede stap: je neemt aan dat de formule juist is voor n=k, dus f^(k)(x)=(-1)^k(x-k)e^(-x) (deze klopt!) dan te bewijzen dat de formule juist is voor n=k+1.
Dus je gaat de k-e afgeleide nog eens diff naar x en dan moet er uitkomen:
f^(k+1)(x)=(-1)^(k+1)(x-k-1)e^(-x). Dan ben je klaar.
Probeer het eens!