Differentiëren i.p.v groeifactor (?)

[henkoegema]

Deze opgave komt uit het boek "Moderne Wiskunde ed. 12.1 FLEX vwo wiskunde B deel 2", blz, 40 Opgave T2 :

Een koud voorwerp, bijvoorbeeld een blikje frisdrank dat in de
koelkast heeft gestaan, zal langzamerhand opwarmen.
Ga uit van een blikje met temperatuur van 5 ∘C ,terwijl de
omgevingstemperatuur 25 ∘C is.
Het temperatuurverschil neemt per minuut met 7,5% af.
a. Bereken de temperatuurvan het blikje na 1 minuut, na
5 minuten en na 10 minuten.
b. Stel een formule op voor de temperatuur T in ∘C na
t minuten.
c. Na hoeveel minuten is de temperatuur van 10 ∘C bereikt?

Is zo'n opgave ook te berekenen m.b.v. differentiëren, i.p.v groeifactor?

(p.s. Ik ben geen vwo leerling, maar gewoon een wiskunde hobbyist. )

[henkoegema]

Ik heb een soort gelijk probleem weleens gezien op YouTube van Professor Leonard, maar kan het niet meer vinden.

[arie]

Het kan met differentiaalvergelijkingen, zie bv https://nl.wikipedia.org/wiki/Lineaire_ ... erste_orde.
In dit probleem:
Noem \(V_t\) = het temperatuurverschil op tijdstip t.
Per tijdseenheid neemt dit verschil met een constant percentage af,
dwz: de verandering per tijdseenheid is een constante (noem deze \(a\)) maal het verschil op dat moment:
\(\frac{dV_t}{dt} = a\cdot V_t\)
of anders genoteerd:
\(V'_t = a\cdot V_t\)

Dit geeft:
\(\frac{V'_t}{V_t} = a\)
Integreer naar t:
\(\int \frac{V'_t}{V_t} dt = \int a \; dt\)
\(\ln |V_t| = at + C_1\)
(\(C_1\) is de integratieconstante)
\(|V_t| = e^{at + C_1}\)
herschrijf:
\(|V_t| = C_2\cdot e^{at}\)
(waarbij \(C_2\) een constante)
ofwel:
\(V_t = c\cdot e^{at}\)
Voor te bepalen constanten a en c.

Gegeven \(V_0 = 20\) geeft met deze formule:
\(20 = c \cdot e^{a\cdot 0} = c\)

en \(V_1 = 0.925\cdot 20 = 18.5\) levert vervolgens:
\(18.5 = 20\cdot e^{a\cdot 1}\)
waardoor
\(a = \ln \frac{18.5}{20} = -0.07796154...\)

Dus:
\(V_t = 20 \cdot e^{-0.07796154\cdot t}\)
en dit kunnen we herschrijven als
\(V_t = 20 \cdot \left( e^{-0.07796154}\right) ^ t = 20\cdot 0.925^t\)
waarbij we weer op de formule met de groeifactor uitkomen.

[henkoegema]

Bij deze mijn dank Arie.
Dit is precies waarna ik op zoek was.