Differentieren: Wat, Waarom, Hoe

Integraalrekening, afgeleiden, rijen, convergentie & divergentie van reeksen, meervoudige integratie.

Differentieren: Wat, Waarom, Hoe

Berichtdoor Sjoerd Job » 24 Jan 2006, 23:41

Differentieren
Wat komen we nu eigenlijk weten?
Wanneer wij differentieren, krijgen wij het richtingscoefficient van de grafiek op punt (x,f(x)). Deze nieuwe functie kunnen we dan gebruiken om interessante feiten over de originele functie te weten te komen. Bijvoorbeeld toppen, snelste stijgingen, en zo voorts.
Waarom willen we het weten?
Optimaliseringen
Stel, wij hebben een functie voor de oppervlakte, die de oppervlakte aangeeft voor een cilinder met inhoud (constant) en straal x.
Omdat wij een blikje moeten maken, willen wij weten wanneer we het minste metaal gebruiken (afhankelijk van de oppervlakte). Dus willen we de x-waarde weten. Wat opvalt is dat het richtingscoeficient 0 is op de toppen. Dus, als we de afgeleide hebben, kunnen we 0 invullen, en ziedaar, we hebben de x-waarden. Nog even invullen, en we kunnen de werkgever vertellen wanneer hij het goedkoopst uit is!
Snelheid berekenen
We hebben een functie die aangeeft waar een fietser is. Een zogenaamde f(t) functie, die een afstand geeft, afhankelijk van de tijd. We willen weten hoe snel de fietser fietst 5 seconden nadat hij vertrokken is. De afgeleide in dit geval is de snelheid. afstand(m) / tijd(s) = snelheid(m/s)
Even snel 5 invullen, en daar is het!
Of, we willen weten wanneer de fietser het snelst fiets. Dan nemen we wederom de afgeleide, en komen op de versnelling. Oplossen voor f''(t) = 0, en dan de t-waarde in de afgeleide invullen om er achter te komen hoe snel hij dan wel fietst.
Het richtingscoefficient benaderen / berekenen
Het komt voor dat wij weleens het richtingscoeficient van een functie willen weten bij 'n x-waarde. Nou kan je natuurlijk wel 'n aantal manieren vinden om dit te doen.
Onnauwkeurig: Tekenen en Meten
Teken de grafiek f(x)
Zoek de x-waarde op de getallenlijn, en ga vanuit daar loodrecht naar de grafiek f(x). Markeer dit punt.
Teken de raaklijn van de grafiek op het punt.
Markeer twee punten op de grafiek, die zo ver mogelijk van elkaar afliggen. Zoek voor beide punten de coordinaten op, en meet het verschil in f(x)/het verschil in x
Veel werk: Functiewaarden van dicht bijeen liggend punten
Als wij een grafiek tekenen, en een lijn die door f(3) en en f(3.0001) gaat, zien wij dat we een lijn krijgen die heel dicht bij de raaklijn in de buurt komt. Wij kunnen zelfs een functie schrijven die het geeft.
g(x) = het richtingscoefficient van f(x) in (x,f(x)) ongeveer= (f(x+iets kleins) - f(x))/iets kleins
Let er wel op dat "iets kleins" wel op eenzelfde getal duidt.
Exact, en langdurig: Limiet naar 0
Bij ons vorige punt hebben wij gezien dat wij een formule kunnen opstellen voor de lijn die door 2 punten op de grafiek gaan, die een kleine afstand van elkaar afzitten.
Wij noemen deze afstand 'h', of 'delta x'(het verschil in x)

Nu pakken wij pen en papier en schrijven

Dan schrijven we het gedeelte boven de deelstreep uit, en vereenvoudigen dat. Wat wij opmerken is dat in elke term een voorkomt.

Als wij dan deze zoveel mogelijk wegdelen, komen wij bij een gelijke functie.
Als wij dan invullen, kunnen we uiteindelijk komen op een antwoord, waar nog enige termen overblijven.
Deze functie geeft de richtingscoefficient exact.
Simpeler, maar nog steeds exact
Nu is dit heel veel werk, en vergt het veel tijd. Gelukkig zijn er vele simpelere methoden. Een aantal mensen zijn tijden bezig geweest met differentieren(het proces waarmee de afgeleide berekent wordt), en waarschijnlijk merkten zij wat op. En, deze hebben ze doen bewezen.

Allereerst even wat over de notatie:
De afgeleide (het resultaat na differentieren) van functie f(x) schrijven we als f'(x). De afgeleide van f'(x) is f''(x), en zo verder.
De afgeleide van een operatie, zoals x^224x-5x^3 schrijven we tussen blokhaken met wederom een accent. [x^224x-5x^3]'. Wanneer we hier de afgeleide van nemen, zetten we een extra accent neer.

Wanneer in de formule een + teken staat die de formule in twee delen deelt, is de afgeleide van de functie gelijk aan de som van de afgeleide van de twee delen.


Wanneer een functie met de variabele vermenigvuldigt wordt met een constante, kunnen wij de afgeleide verkrijgen door de afgeleide van de functie te vermenigvuldigen met de constante: C = constante.


Wanneer een variabele tot een constante macht wordt verheven, is de afgeleide gelijk aan de variabele tot de (constante-1)ste macht te verheffen, en deze dan te vermenigvuldigen met de constante.


Zo hebben de wiskundigen meer en meer dingen bevonden en bewezen. Al deze dingen zijn heel makkelijk als je de afgeleide wilt berekenen. Snel even wat regeltjes toepassen, en daar ben je. Aan elke stap kan wel een heel bewijs uitgehangen worden! Dat is ook leuk! Maar, dat zal ik aan jullie overlaten!

Onthoud: Wanneer je de basis-beginselen weet, is het makkelijker om nieuwe dingen te onthouden. Wiskunde bouwt op wiskunde. Als je 1+1=2 niet weet, zal je met 1+1+1=... al niet ver komen. Vermenigvuldigen is dan al helemaal tovenarij!
Laatst gewijzigd door Sjoerd Job op 26 Jan 2006, 13:43, in totaal 1 keer gewijzigd.
``Life is complex. It has real and imaginary parts.''
Sjoerd Job
Admin
Admin
 
Berichten: 1148
Geregistreerd: 21 Jan 2006, 15:09
Woonplaats: Krimpen aan den IJssel

Berichtdoor Marco » 25 Jan 2006, 16:59

Super Sjoerd-Job!! Bedankt!

(ik heb hem even sticky gemaakt ;))
Groeten, Marco
Gebruikers-avatar
Marco
Beheerder
Beheerder
 
Berichten: 825
Geregistreerd: 19 Feb 2005, 12:50
Woonplaats: Leeuwarden

Berichtdoor Thomas » 28 Mei 2007, 17:47

Misschien handig om de product- en quotiëntregel bij te zetten.

Productregel:




voorbeeld:


en





Quotiëntregel:




voorbeeld:


en







ps. Als deze post hier weg moet moet je het maar even laten weten, dan is ie zo weer weg.
Laatst gewijzigd door Thomas op 10 Okt 2007, 14:50, in totaal 2 keer gewijzigd.
Thomas
Gevorderde
Gevorderde
 
Berichten: 120
Geregistreerd: 06 Apr 2007, 02:02

Berichtdoor Hugo » 28 Mei 2007, 17:56

Thomas schreef:ps. Als deze post hier weg moet moet je het maar even laten weten, dan is ie zo weer weg.


LOL, als ie weg moest, was ie dat al, maar dat moet ie niet, want het is heel slim.
I thought i was dead for a while, then I decided I was a lemon for a couple of weeks and I amused myself that time jumping in and out a gin tonic.
Gebruikers-avatar
Hugo
Vergevorderde
Vergevorderde
 
Berichten: 926
Geregistreerd: 26 Nov 2006, 00:41

Berichtdoor SafeX » 29 Mei 2007, 13:31

Wat ik graag wil weten:
Is dit(!) op verzoek?
Wil je dit wiskundig onderbouwen?
Voor wie is dit bedoeld?

Je poneert bv dat een afgeleide functie een richtingscoëff oplevert. Geen verklaring ... ?
SafeX
Moderator
Moderator
 
Berichten: 14173
Geregistreerd: 29 Dec 2005, 11:53

Berichtdoor Thomas » 31 Mei 2007, 11:40

Vraag je dit aan mij of aan Sjoerd Job, ik neem aan aan mij.

Ik heb alleen die 2 dingen daar neergezet omdat ik soms vragen zie langskomen van mensen die weten wat differentiëren is, maar soms nog de fout in gaan. Ik dacht daarom dat dit misschien wel zou helpen. =)
Thomas
Gevorderde
Gevorderde
 
Berichten: 120
Geregistreerd: 06 Apr 2007, 02:02

Berichtdoor Sjoerd Job » 31 Mei 2007, 19:13

SafeX schreef:Wat ik graag wil weten:
Is dit(!) op verzoek?
Wil je dit wiskundig onderbouwen?
Voor wie is dit bedoeld?

Je poneert bv dat een afgeleide functie een richtingscoëff oplevert. Geen verklaring ... ?

Het was niet op verzoek. Ik heb het al lang geleden geschreven, meer dan een jaar al. Ik vermoed dat er vast grove fouten in zitten, en die moeten er zeker uit. Er zijn inderdaad ook weinig verklaringen.

Mensen met op en aanmerkingen: Die zijn welkom, en ik zal proberen het te verbeteren.

Voor wie het bedoelt is, geen idee.
``Life is complex. It has real and imaginary parts.''
Sjoerd Job
Admin
Admin
 
Berichten: 1148
Geregistreerd: 21 Jan 2006, 15:09
Woonplaats: Krimpen aan den IJssel

Berichtdoor Hugo » 31 Mei 2007, 19:14

Sjoerd Job schreef:
SafeX schreef:Wat ik graag wil weten:
Is dit(!) op verzoek?
Wil je dit wiskundig onderbouwen?
Voor wie is dit bedoeld?

Je poneert bv dat een afgeleide functie een richtingscoëff oplevert. Geen verklaring ... ?

Het was niet op verzoek. Ik heb het al lang geleden geschreven, meer dan een jaar al. Ik vermoed dat er vast grove fouten in zitten, en die moeten er zeker uit. Er zijn inderdaad ook weinig verklaringen.

Mensen met op en aanmerkingen: Die zijn welkom, en ik zal proberen het te verbeteren.

Voor wie het bedoelt is, geen idee.

was het geen idee geweest om dit dan eerst in overleg te plaatsen?
I thought i was dead for a while, then I decided I was a lemon for a couple of weeks and I amused myself that time jumping in and out a gin tonic.
Gebruikers-avatar
Hugo
Vergevorderde
Vergevorderde
 
Berichten: 926
Geregistreerd: 26 Nov 2006, 00:41

Berichtdoor Marco » 01 Jun 2007, 07:38

Dat was er toen nog niet echt... ;)
Groeten, Marco
Gebruikers-avatar
Marco
Beheerder
Beheerder
 
Berichten: 825
Geregistreerd: 19 Feb 2005, 12:50
Woonplaats: Leeuwarden

Berichtdoor Hugo » 01 Jun 2007, 09:14

eerste post op overleg dateert uit 2005, dus dat was er wel toen ie dit ging posten
I thought i was dead for a while, then I decided I was a lemon for a couple of weeks and I amused myself that time jumping in and out a gin tonic.
Gebruikers-avatar
Hugo
Vergevorderde
Vergevorderde
 
Berichten: 926
Geregistreerd: 26 Nov 2006, 00:41

Berichtdoor SafeX » 01 Jun 2007, 12:38

Sjoerd Job schreef:
SafeX schreef:Wat ik graag wil weten:
Is dit(!) op verzoek?
Wil je dit wiskundig onderbouwen?
Voor wie is dit bedoeld?

Je poneert bv dat een afgeleide functie een richtingscoëff oplevert. Geen verklaring ... ?

Het was niet op verzoek. Ik heb het al lang geleden geschreven, meer dan een jaar al. Ik vermoed dat er vast grove fouten in zitten, en die moeten er zeker uit. Er zijn inderdaad ook weinig verklaringen.

Mensen met op en aanmerkingen: Die zijn welkom, en ik zal proberen het te verbeteren.

Voor wie het bedoelt is, geen idee.

Het initiatief is OK!
Maar gezien je bovenstaande reactie is het misschien verstandig om hier een aparte rubriek van te maken. En (met anderen) overleggen over wat daarin moet komen te staan en de onderbouwing daarvan lijkt me wel nuttig.

Opm: Ik keek nog even naar de rubriek Tutorials, is dat niet de plek?
SafeX
Moderator
Moderator
 
Berichten: 14173
Geregistreerd: 29 Dec 2005, 11:53

Berichtdoor Thomas » 01 Jun 2007, 23:53

Tutorials is daar wel voor gemaakt, maar ik denk dat weinig mensen die met een vraag hier komen daar eerst zullen kijken. Volgens mij zullen ze eerder een sticky in het desbetreffende sub-forum lezen dan een topic in het Tutorials gedeelte. Maar dat is mijn mening :roll:
Thomas
Gevorderde
Gevorderde
 
Berichten: 120
Geregistreerd: 06 Apr 2007, 02:02

Re: Differentieren: Wat, Waarom, Hoe

Berichtdoor David » 27 Jan 2010, 19:04

Hallo allemaal,

Ik weet dat dit een oud bericht is.Slechts een suggestie, maar kan aan gebruikers niet de mogelijkheid gegeven ,zoals een subforum, worden op een plaats om de theorie/uitleg te laten posten over bijv. lineaire verbanden, gelijkbenige driehoeken etcetera. In bijv. tutorials zou het kunnen, maar er is niet echt een topic dat daarvoor is. Een soort brainstorm evt.....
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)
David
Moderator
Moderator
 
Berichten: 4935
Geregistreerd: 14 Mei 2009, 16:22

Re: Differentieren: Wat, Waarom, Hoe

Berichtdoor SafeX » 27 Jan 2010, 19:25

Wat iig nuttig is: de meetkundige betekenis van de afgeleide f'(x) van een differentieerbare functie f(x) in de grafiek van f.
SafeX
Moderator
Moderator
 
Berichten: 14173
Geregistreerd: 29 Dec 2005, 11:53

Re: Differentieren: Wat, Waarom, Hoe

Berichtdoor David » 02 Feb 2010, 07:44

Dus, als iemand een uitleg heeft voor de meetkundige betekenis van de afgeleide f'(x) van een differentieerbare functie f(x) in de grafiek van f, is die uitleg hier zeer welkom. Bij voorbaat dank.
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)
David
Moderator
Moderator
 
Berichten: 4935
Geregistreerd: 14 Mei 2009, 16:22

Volgende

Terug naar Analyse & calculus

Wie is er online?

Gebruikers in dit forum: Geen geregistreerde gebruikers en 3 gasten

Wie is er online?

Er zijn in totaal 3 gebruikers online :: 0 geregistreerd, 0 verborgen en 3 gasten (Gebaseerd op de gebruikers die actief waren gedurende 5 minuten)
De meeste gebruikers ooit tegelijkertijd online was 649 op 31 Okt 2014, 18:45

Gebruikers in dit forum: Geen geregistreerde gebruikers en 3 gasten
Copyright © 2009 Afterburner - Free GPL Template. All Rights Reserved.