hulp gezocht

[Johan Liebert]

Hoi,

Ik loop vast op de volgende som:

Op het interval [0, 1] is de familie van functies k(x)= 1 - x^n gegeven. Hierin is n een positief geheel getal. Alle functies gaan door de punten (1,0) en (0,1). Nu moet ik weten wat n is als de formule van de raaklijn aan k in (1.0) gelijk is aan y=-1000x+1000. ik heb zelf geen flauw idee wat moet doen om hieruit een functie te krijgen om als die van y= 1 - x^n.

Ik hoop dat het een beetje duidelijk is zo.

MVG,

Ruben

[SafeX]

Heb je k(x) getekend voor bv n=1, 2, 3.
De rubriek die je gekozen hebt wijst , in dit geval, op differentiëren naar x. Daar zit ook n nog in.
Welke eis moet je nu stellen. Denk eens aan de afgeleide en de rico van de raaklijn.

[Johan Liebert]

De eis is dat de rico van k(x)=1-x^n op (1,0) gelijk is aan -1000. Er is volgens mijn GR geen n die precies aangeeft dat de rico precies -1000 is op (1,0). k(x)=1-x^882 zou dan de uitkomst moeten zijn. Echter weet ik nog steeds niet hoe ik daar dan op moet komen. Ik weet dat je bij differentieren machten kunt laten verdwijnen, maar hoe tover ik ze weer te voorschijn?

[arie]

Je hebt de functie k(x)=1-x^n
Wat is hiervan de afgeleide functie k'(x) ?
Wat is k'(1) (=de afgeleide van k(x) voor x=1) ?
Kom je zo verder?

[Johan Liebert]

De afgeleide is dan K'(x)=-x^(n-1)
De afgeleide van K'(1)=-1^(n-1)

klopt dit?

ik probeer hem op deze(k'(x)=1-1^(x-1) wijze te plotten, maar dat is waarschijnlijk onjuist want ik kom maar niet op het goede antwoord. even voor de goede orde; dit is de eerste keer dat ik met een dergelijke som te maken.

[arie]

Kijk eerst eens naar de afgeleide functies van:
f(x) = x^2
g(x) = x^3
h(x) = x^4
wat is dan de afgeleide van:
p(x) = x^n
en dus van
k(x) = 1 - x^n

[Johan Liebert]

f'(x) = 2x
g'(x) = 3x^2
h'(x) = 4x^3
-----------------
p'(x)=n*x^(n-1)
p'(x)=n*1^(n-1)

[arie]

ok.
k'(x) = -n*x^(n-1)
dus
k'(1) = -n*1^(n-1) = -n
je had al k'(1) = -1000
dus nu weet je de waarde van n

[Johan Liebert]

erh juist, twee keer een min vergeten.

Zo had ik hem al een keer:
y1= 1-x^1000

Als ik de functie dy/dx gebruik op x=1 dan krijg ik -1174,614.

wat gaat hier verkeerd?

[arie]

De functie die je op papier gevonden hebt is goed.

Je rekenmachine benadert de waarde van f'(x) ofwel de afgeleide van f(x).
Ik vermoed dat dit gebeurt op de volgende manier:

met d heel klein.
Je neemt op deze manier aan dat de functie lineair is rond f(a).
je berekent dan voor 2 punten iets links (a-d) en iets rechts (a+d) van a hun functiewaarde f(a-d) en f(a+d) door ze in de gegeven functie f(x) in te vullen.
De tangens van de raaklijn = richtingscoefficient wordt dan benaderd door bovenstaande formule.

Als ik dit doe voor k(x) = 1 - x^1000
dan vind ik
k'(1) = -1174,61425
als d = 0,001.
Dit is vrijwel exact wat jij met je dy/dx functie vindt.

Deze lineaire benadering levert voor k(x) dus een forse fout.
Ik verwacht dat je de waarde van d op je rekenmachine/computer kleiner kunt maken,
bv d = 0,00001.
Als je dit doet, zal je zien dat de benadering voor k'(1) al veel beter uitvalt.

[Johan Liebert]

M.a.w. De verandering op zelfs dat kleine "interval" is nog steeds zo groot dat hij nog steeds afwijkt van een lineaire interpretatie? Hoe verander ik de d op mijn GR? Of moet dit gewoon handmatig worden uitgerekend?

[arie]

handmatig kom ik op:


Welk merk en type rekenmachine heb je precies?

[Johan Liebert]

TI-84 Plus.

[arie]

Volgens de handleiding zou je onder [MATH] gebruik moeten kunnen maken van:
nDeriv(expressie, variable, value[, epsilon])
waarbij:
- de expressie je functie is: 1 - x^1000
- de variabele is x
- de value is 1
- epsilon = 0.00001
(noot: de standaardwaarde van epsilon is inderdaad 0.001)

Zie zo nodig pag 60 van de handleiding op
(http://education.ti.com/downloads/guide ... rt2_EN.pdf)

Lukt dit?
(ik heb zelf geen TI84 plus)

[Johan Liebert]

Syntax error