Substitutiemethode primitiveren

Integraalrekening, afgeleiden, rijen, convergentie & divergentie van reeksen, meervoudige integratie.

Substitutiemethode primitiveren

Berichtdoor MikeMike » 05 Feb 2009, 19:26

Beste leden, ik ben bezig het onderwerp primitiveren te leren. Nu ben ik de substitutiemethode tegengekomen, ik weet alleen niet hoe (en of) ik die correct gebruik. Als voorbeeld



Stel:

Hieruit volgt dat



Klopt dit?

Als het klopt denk ik wel te begrijpen wat ik doe. Je moet dus toewerken naar een vorm en hier verder mee werken?

Groeten,

Mike
MikeMike
Vast lid
Vast lid
 
Berichten: 25
Geregistreerd: 27 Okt 2008, 20:34

Re: Substitutiemethode primitiveren

Berichtdoor arie » 06 Feb 2009, 14:51

Klopt, maar stel het nog algemener, dus niet alleen voor f(u) = u^n, maar voor elke functie f(u) van u, dus ook exponentiele functies, goniometrische functies etc:



Kortom als je de functie die je wilt integreren, zeg g(x), kan schrijven als
g(x) = f(u(x)) * u'(x)
is deze methode bruikbaar.

voorbeeld 1

waarbij




voorbeeld 2

waarbij:



(vaak moet je zoals in dit voorbeeld wat creatief omgaan met constanten etc)
arie
Moderator
Moderator
 
Berichten: 3023
Geregistreerd: 09 Mei 2008, 09:19

Re: Substitutiemethode primitiveren

Berichtdoor MikeMike » 06 Feb 2009, 17:51

Ok, ik moet wel even kijken hoe ik de standaard vorm moet interpreteren :D

Kortom als je de functie die je wilt integreren, zeg g(x), kan schrijven als
g(x) = f(u(x)) * u'(x)
is deze methode bruikbaar.

Ok, dit roept nog een tweetal van vragen bij mij op. Wat betekent het rode deel?

u'(x)= du/dx (u differentieren naar x) toch? Maar hoe kun je weten wat je het beste als U stellen in zo een functie?
MikeMike
Vast lid
Vast lid
 
Berichten: 25
Geregistreerd: 27 Okt 2008, 20:34

Re: Substitutiemethode primitiveren

Berichtdoor arie » 06 Feb 2009, 20:17

f(u(x)) beeldt
(1) eerst x af op u(x),
(2) vervolgens u(x) of kortweg u af op f(u(x)).
In je eerste post is
u(x) = (x^2 + x)
bij elke x kan je het beeld u(x) vinden.
vervolgens was f(u(x)) of f(u) gelijk aan u^6 als je f als functie op u ziet, of f(x^2 + x) als je f als functie op x ziet, met f(x^2 + x) = (x^2 + x)^6
Samengevat:
x wordt afgebeeld op u(x) en dit wordt vervolgens afgebeeld op f(u(x)):
x --> u(x) --> f(u(x))

Wat je doet is in feite het omgekeerde van de kettingregel bij het differentieren:
de afgeleide van samengestelde functie f(g(x)) is (f(g(x)))' = f '(g(x)) * g'(x)
met f de primitieve van f '
Als je deze nu resp. F en f noemt dan krijg je
(F(g(x)))' = f(g(x)) * g'(x)
noem g nu de functie u en je krijgt:
(F(u(x)))' = f(u(x)) * u'(x)
waarbij F(u(x)) de primitieve is die we zoeken en
f(u(x)) * u'(x)
de gegeven integraal is.

u'(x) = du/dx
ofwel
u'(x) dx = du
wat je gebruikt in je substitutie.

Wat je het beste u kunt stellen is lastig. In mijn voorbeeld 1 staat 2x in de teller, dit is heel duidelijk de afgeleide van (x^2 + 1) in de noemer. Als er bijvoorbeeld alleen maar x in de teller staat wordt het al lastiger om dit te herkennen als (de helft van) de afgeleide van de noemer.
Dit merk je ook in mijn voorbeeld 2: daar moest je eerst nog een constante factor 1/4 buiten de integraal halen.
Kijk ook naar deze integraal:


met





met




Natuurlijk zijn deze antwoorden equivalent, want

maar je ziet zo dat je veel vrijheid hebt met het kiezen van u.

Wellicht hebben andere forumleden nog handige vuistregels om u te bepalen??
arie
Moderator
Moderator
 
Berichten: 3023
Geregistreerd: 09 Mei 2008, 09:19

Re: Substitutiemethode primitiveren

Berichtdoor MikeMike » 09 Feb 2009, 11:09

Ok, dank je voor de duidelijke uitleg. Ik zal het nog even goed bestuderen, ik ben namelijk altijd wel nieuwsgierig naar de theorie die schuilgaat achter een methode in plaats van zomaar iets uit m'n hoofd leren :D .

Soms is het ook makkelijk om een integraal op te lossen aan de hand van breuksplitsing. Hoe kun je nou snel zien welke methode je het beste kunt nemen?

Neem bijvoorbeeld:

Ik weet het antwoord wel van deze integraal, opgelost aan de hand van breuksplitsen, maar ik weet niet waarom ik deze het beste zo kan oplossen en niet aan de hand van substitutie.

Ik heb wel een vermoeden en dat is dat breuksplitsen hier kan worden toegepast omdat er een hogere macht van x in de teller staat, dan in de noemer maar of dit vermoeden klopt?

En kan dit ook alsnog worden opgelost aan de hand van substitutie? en hoe?
MikeMike
Vast lid
Vast lid
 
Berichten: 25
Geregistreerd: 27 Okt 2008, 20:34

Re: Substitutiemethode primitiveren

Berichtdoor arie » 09 Feb 2009, 13:15

Bij een breuk van twee veeltermen van x

kan je door uitdeling ervoor zorgen dat de hoogste macht van p (=graad van p) kleiner is dan die van q.
In jouw voorbeeld:



en dit is dan eenvoudig op te lossen, waarbij je zo nodig voor de laatste term de substitutieregel nog kunt gebruiken met:




De problemen ontstaan dan meestal bij de laatste term: een breuk waarin de hoogste macht van x in de teller kleiner is dan die in de noemer.
Bekijk de volgende integraal (1e vorm):



Deze kan je oplossen met breuksplitsing.
Ga je deze herschrijven als (2e vorm):



dan kan je op de eerste integraal de substitutieregel toepassen (de teller is de afgeleide van de noemer), maar daar schiet je weinig mee op omdat je voor de 2e integraal toch nog breuksplitsing moet gebruiken (natuurlijk geven beide methodes uiteindelijk wel weer het goede antwoord).

Bij het oplossen van de integraal



kom je juist weer wel goed uit door eerst een substitutieregel-geschikte breuk af te splitsen zoals in de (2e vorm) hierboven.

Kortom:
zoek eerst naar de eenvoudigst mogelijke oplossingsmethode, kom je daarmee niet uit, kijk dan of het lukt met ingewikkelder methodes.

Verder is het natuurlijk ook een kwestie van veel oefenen en opgaven maken ;-)
arie
Moderator
Moderator
 
Berichten: 3023
Geregistreerd: 09 Mei 2008, 09:19

Re: Substitutiemethode primitiveren

Berichtdoor arie » 09 Feb 2009, 16:15

Nog een opmerking wat betreft breuksplitsing:

De integraal



kan je herschrijven in de vorm:



door uitdeling: maak een staartdeling en je vindt alle termen.
Van de eerste termen hiervan zijn de primitieven niet ingewikkeld (altijd machten van x), alleen de laatste term (de breuk) kan problemen geven.
Deze laatste term is altijd te schrijven in de vorm

waarbij p en q veeltermen van x.
In dit geval is
p(x) = 1
q(x) = x+1
en is de primitieve van de breuk nog vrij simpel te vinden: ln(|x+1|).

Als de noemer een hogere graad heeft, wordt het wat ingewikkelder, en maken we gebruik van breuksplitsing. Neem bijvoorbeeld de integraal



In dit geval is
p(x) = 4x - 2
q(x) = x^2 - 3x + 2

Om de primitieve te vinden van deze breuk, willen we de breuk splitsen.
De noemer heeft in dit geval 2 nulpunten, we werken dan naar de vorm



nu dus 2 breuken, waarvan het product van de noemers gelijk is aan de oorspronkelijke breuk, en waarvan we de constanten A en B nog moeten zien te vinden.
We werken dit nu terug naar de oorspronkelijke vorm:











en dit moet gelijk zijn aan de oorspronkelijke breuk, dus:

A + B = 4
2A + B = 2

waaruit volgt

A = -2
B = 6

Dus:



Hier is de oorspronkelijke breuk gesplitst in 2 breuken, die elk eenvoudig te integreren zijn.
Voor het geval dat er 1 of geen nulpunten van de noemer zijn wordt dit nog wat ingewikkelder.
Ook voor hogere veeltermen (3e of hogere macht van x in de noemer) is deze methode te gebruiken, maar dan splits je in meer breuken: net zo veel als de graad in de noemer).

[NOOT: Indien je na uitdelen iets overhoudt in de vorm



kan je natuurlijk ook je substitutiemethode gebruiken: de teller is hier de afgeleide van de noemer]


Ik vermoed echter dat dit allemaal wat (te) ver gaat...

Conclusie:
Deel je breuken eerst uit (met een staartdeling), los vervolgens de bekende termen (machten van x) en de restbreuk op, indien nodig deze laatste met breuksplitsing of de substitutiemethode.
arie
Moderator
Moderator
 
Berichten: 3023
Geregistreerd: 09 Mei 2008, 09:19

Re: Substitutiemethode primitiveren

Berichtdoor MikeMike » 10 Feb 2009, 22:45

Ik lees nu jouw post pas goed door, perfect! Je hebt mijn vragen echt goed beantwoord, dat uitdelen met een staartdeling kan ik inderdaad wel. Dat echte breuksplitsen ben ik niet bekend mee, maar ik volg wel wat je doet. Heb je meer leuke voorbeelden voor die methode ?

Wij werken voornamelijk met polynomen, e machten en dergelijke. Wat dat betreft eigenlijk "simpele" integralen als je de trucjes die jij beschreef goed beheerst.

Misschien geen relevante vraag voor dit topic: studeer je wiskunde ?
MikeMike
Vast lid
Vast lid
 
Berichten: 25
Geregistreerd: 27 Okt 2008, 20:34

Re: Substitutiemethode primitiveren

Berichtdoor marco8x » 07 Okt 2017, 20:10

arie schreef:Klopt, maar stel het nog algemener, dus niet alleen voor f(u) = u^n, maar voor elke functie f(u) van u, dus ook exponentiele functies, goniometrische functies etc:



Kortom als je de functie die je wilt integreren, zeg g(x), kan schrijven als
g(x) = f(u(x)) * u'(x)
is deze methode bruikbaar.

voorbeeld 1

waarbij




voorbeeld 2

waarbij:



(vaak moet je zoals in dit voorbeeld wat creatief omgaan met constanten etc)


Fijne uitleg, heb hierna gelijk een account aangemaakt voor dit forum
marco8x
Nieuw lid
Nieuw lid
 
Berichten: 1
Geregistreerd: 07 Okt 2017, 20:08


Terug naar Analyse & calculus

Wie is er online?

Gebruikers in dit forum: Geen geregistreerde gebruikers en 3 gasten

cron

Wie is er online?

Er zijn in totaal 3 gebruikers online :: 0 geregistreerd, 0 verborgen en 3 gasten (Gebaseerd op de gebruikers die actief waren gedurende 5 minuten)
De meeste gebruikers ooit tegelijkertijd online was 649 op 31 Okt 2014, 18:45

Gebruikers in dit forum: Geen geregistreerde gebruikers en 3 gasten
Copyright © 2009 Afterburner - Free GPL Template. All Rights Reserved.