Nog een opmerking wat betreft breuksplitsing:
De integraal
kan je herschrijven in de vorm:
door uitdeling: maak een staartdeling en je vindt alle termen.
Van de eerste termen hiervan zijn de primitieven niet ingewikkeld (altijd machten van x), alleen de laatste term (de breuk) kan problemen geven.
Deze laatste term is altijd te schrijven in de vorm
waarbij p en q veeltermen van x.
In dit geval is
p(x) = 1
q(x) = x+1
en is de primitieve van de breuk nog vrij simpel te vinden: ln(|x+1|).
Als de noemer een hogere graad heeft, wordt het wat ingewikkelder, en maken we gebruik van breuksplitsing. Neem bijvoorbeeld de integraal
In dit geval is
p(x) = 4x - 2
q(x) = x^2 - 3x + 2
Om de primitieve te vinden van deze breuk, willen we de breuk splitsen.
De noemer heeft in dit geval 2 nulpunten, we werken dan naar de vorm
nu dus 2 breuken, waarvan het product van de noemers gelijk is aan de oorspronkelijke breuk, en waarvan we de constanten A en B nog moeten zien te vinden.
We werken dit nu terug naar de oorspronkelijke vorm:
en dit moet gelijk zijn aan de oorspronkelijke breuk, dus:
A + B = 4
2A + B = 2
waaruit volgt
A = -2
B = 6
Dus:
Hier is de oorspronkelijke breuk gesplitst in 2 breuken, die elk eenvoudig te integreren zijn.
Voor het geval dat er 1 of geen nulpunten van de noemer zijn wordt dit nog wat ingewikkelder.
Ook voor hogere veeltermen (3e of hogere macht van x in de noemer) is deze methode te gebruiken, maar dan splits je in meer breuken: net zo veel als de graad in de noemer).
[NOOT: Indien je na uitdelen iets overhoudt in de vorm
kan je natuurlijk ook je substitutiemethode gebruiken: de teller is hier de afgeleide van de noemer]
Ik vermoed echter dat dit allemaal wat (te) ver gaat...
Conclusie:
Deel je breuken eerst uit (met een staartdeling), los vervolgens de bekende termen (machten van x) en de restbreuk op, indien nodig deze laatste met breuksplitsing of de substitutiemethode.