Frees van een parabool

[Wiskunde]

Hallo,

Ik probeer achter de functie van een frees voor een parabool met de functie x^2 te komen,
de baan van het middelpunt van een cirkel die over een parabool rolt.




Dus de functie van de kromme waar punt B overheen loopt. Ik heb dit op het plaatje met een meetkundige plaats gedaan ten opzichte van de parabool.

Is er misschien een functie, zo niet een ander programma die dit wel kan, die de functie van die kromme geeft?

Dit is wat ik met algebra gedaan heb:
* De lijn van het middelpunt van de cirkel naar het raakpunt van de cirkel en de parabool staat loodrecht op de raaklijn van de parabool in het raakpunt van de cirkel en de parabool.
* Dus de afgeleide is 2x.
* De richtingscoëfficiënt van de loodlijn is -1/(2x).




* Maak een rechthoekige driehoek met als schuine zijde AB, of terwijl de straal R.
* Als je de richtingscoëfficiënt en 1 als de rechte zijden van de driehoek neemt en die allebei met een factor a vermenigvuldigt kan je de stelling van Pythagoras toe passen:







* Als x>0 transformeert de functie x^2 met a naar links en a/2x naar boven:



* Als x<0 transformeert de functie x^2 met a naar links en a/2x naar boven:



* Als x=0; g(x)=r.

* Ik heb dit als functie ingevuld, maar deze komt niet overeen met de meetkundige plaats van B afhankelijk van A.




Dit zou met de straal te maken kunnen hebben?
De straal moet kleiner zijn dan 1/2
Dit is te zien als ik de straal vergroot, dan vervormt de meetkundige plaats.
Maar ook algebraïsch is dit te zien:














Maar we willen juist geen snijpunt met de cirkel en de parabool, dus:



Maar als ik dus een straal van bijv. 0.4 pak, dan loopt de meetkundige plaats en de g(x) nog steeds niet gelijk.

Als ik 0.1 pak, dan LIJKEN ze wel gelijk te lopen. Kan dit kloppen en waarom zou dit dan kloppen?
Want algebraïsch gezien moet het toch kloppen wat ik doe? Of moet voor elke waarde van het middelpunt van de frees gekeken worden hoe groot de frees maximaal kan zijn?

Hier het bestand voor in GeoGebra: http://dl009.filefactory.com/cache/dl/f ... reesje.ggb

[arie]

(1)

* Als x>0 transformeert de functie x^2 met a naar links en a/2x naar boven:

Als ik het zo snel bekijk lijkt het hier mis te gaan:
je zoekt een functie



maar je formule gebruikt x(B) en x(A) door elkaar: in feite staat in bovenstaande formule:



Hierin moet x(A) nog uitgedrukt worden in x(B)

(2)
g(x) is spiegelsymmetrisch t.o.v. de y-as.
zodra het middelpunt van de cirkel de y-as raakt (dus als x(B)=0), zijn er mogelijk 2 raakpunten van de cirkel aan de parabool: A en A' met x(A' ) = -x(A) en y(A' ) = y(A)
(g heeft dan een soort punt in x=0 en is daar niet differentieerbaar)

[arie]

Nog een opmerking:

als je een parametervoorstelling van een functie kan plotten is de oplossing eenvoudiger:





Beide coordinaten van B zijn hier dus afhankelijk van x(A), de functievoorschriften voor beide functies heb je hierboven in feite al staan.
Let wel op dat x(A) en x(B) altijd hetzelfde teken hebben (x(A) en x(B) moeten altijd aan dezelfde kant van de y-as liggen).

Berekening fixatiepunt van de cirkel in de parabool [=minimale waarde van y(B)] gegeven straal r:
Stel x(B) = 0, dan geldt in het fixatiepunt voor grote r:
y(B) ligt dy boven y(A)
y(A) = x(A)^2







dus



Omdat



geldt in dit geval:



en







Als r > 0.5 zal de cirkel dus vastlopen voordat deze de x-as bereikt.

In dat geval zijn de grenzen voor de hierboven genoemde parametervoorstelling van de functie g dus:
x < -x(A) OF x > x(A)

[Wiskunde]

Dus het klopt dat r<0.5? Of bedoel je iets anders?

Maar je wilt dus zeggen dat je bij transformaties geen variabelen kan gebruiken?
Want het lijkt toch logisch dat een punt M met die factor a, afhankelijk van M(x) i.p.v. N(x), naar links moet.
Welk punt zou dan N moeten zijn? De transformatie is toch afhankelijk van het punt waar vanaf het getransformeerd wordt? Niet een ander punt op de grafiek.

Trouwens ik heb even heel ver ingezoomd, en het blijkt toch niet te kloppen dat ie gelijkt loopt met r=0.1.

[arie]

(1)
Alleen voor r<=0.5 kan de cirkel de bodem van de parabool bereiken, voor r>0.5 blijft de cirkel boven de bodem hangen, met B = (0, y(B)) zoals hierboven gegeven.

(2)
Voor r<=0.5 klopt je formule nog steeds niet omdat de verschuiving zoals hierboven gegeven afhangt van x(A) en niet van x(B) (zie mijn eerste post)

(3)
Je wilt je functie y(B) = g(x(B)) vinden terwijl je in feite y(B) = g(x(B), x(A)) berekent (de verschuiving is afhankelijk van punt A op de parabool en de richtingscoefficient van de raaklijn in A), zie de aanduidingen bij x in mijn 1e post.
Je moet dus eerst nog een functie h vinden die x(B) afbeeldt op x(A), of twee functies maken die beide uitsluitend afhankelijk zijn van x(A), zoals ik schreef in mijn 2e post.
Bijvoorbeeld voor x(A)>0:





waarbij



Als je hiermee een plot van (x(B), y(B)) maakt zou het moeten kloppen.
(voor x(A)<0 het spiegelbeeld in y-as; let op begrenzing van x(A) bij r>0.5 zoals hierboven beschreven).