Driehoek/Vierkantsgetallen

[dennislaagveld]

Is er een formule om makkelijk te berekenen welke driehoeksgetallen ook een vierkantsgetal is?
Er is wel de formule van een driehoeksgetal die gelijkstaat aan een kwadraat, maar om nou van ieder driehoeksgetal de wortel te nemen en te kijken of dit mooi uitkomt duurt een eeuwigheid.
Zo ja als er een is, heeft iemand er ook een bewijs voor?
grts

[arno]

Het n-de driehoeksgetal is en het n-de vierhoeksgetal is n², dus als je de vergelijking oplost geeft dit de waarde voor n waarvoor het n-de driehoeksgetal gelijk is aan het n-de vierhoeksgetal.

[arie]

Je wilt de combinaties (n,y) vinden met
- y = een natuurlijk getal
- n = het volgnummer van een driehoeksgetal
zodat



ofwel:



met de abc-formule vind je (n>=0):



n is natuurlijk als er een oneven x bestaat waarvoor



ofwel:



Dit is een vergelijking van Pell (zie bijvoorbeeld http://en.wikipedia.org/wiki/Pell's_equation) die de volgende recursieve oplossing heeft:





De oplossingen
x0=1, y0=0
en
x1=3, y1=1
zie je in dit geval eenvoudig.
Hiermee kan je alle overige oplossingen genereren.

Deze getallen nemen snel toe in grootte, zie bijvoorbeeld http://www.research.att.com/~njas/sequences/b001110.txt

Als je x hebt (x is door bovenstaande definitie altijd oneven) geldt



en je bijbehorende driehoeksgetal is




NOOT: je kan natuurlijk ook de recursieve oplossing op http://en.wikipedia.org/wiki/Pell's_equation gebruiken:





met x1=3, y1=1 en n=8

[dennislaagveld]

Heeey, het meeste wat hier staat begrijp ik wel.

(Hier even kort samengevat wat ik begrijp als ik het goed heb:)

je komt na wat algebra uit op de formule:

Als je dan bijvoorbeeld voor de x 17 invuld en voor de y 6 dan krijg je: 289
en als je voor de y 6 invult krijg je daar 288. en 289 - 288 = 1.

Dan vul je de gevonden x in bij de formule van

Dan kom je uit voor n op het getal 8.

En als je dat dan weer in de formule van het driehoeksgetal invult :
Dan krijg je 36, wat inderdaad een driehoeksgetal en een kwadraat is.

Alleen is er dus een formule waarmee we makkelijk de x en y kunnen vinden van de formule:

Je bent op deze manier natuurlijk alsnog heel lang bezig een x en een y te vinden.

Alvast bedankt

[arie]

Je bent op deze manier natuurlijk alsnog heel lang bezig een x en een y te vinden.

Integendeel, het gaat supersnel met recursie: uit elke gevonden oplossing bereken je steeds elke volgende oplossing.
Gebruik in dit geval bijvoorbeeld de laatste 2 formules uit mijn vorige post met:
x1=3, y1=1 en n=8:





ofwel:





Als (x1, y1) de eerste niet-triviale oplossing is (dwz niet (x=1 en y=0)) dan gelden bovenstaande formules.
In dit geval is (x1, y1) = (3,1).
Hoe je deze eerste oplossing vindt (als je hem al niet zo ziet) en waarom deze formules vervolgens alle oplossingen leveren is een ingewikkeld verhaal dat lange tijd teruggaat in de geschiedenis: o.a. Euler en Lagrange hebben hieraan gewerkt (Euler heeft het probleem naar het schijnt ten onrechte toegeschreven aan Pell, vandaar de naam van de oorspronkelijke vergelijking).

Als je begint met (x1, y1) = (3,1) vind je van daaruit met bovenstaande formules alle oplossingen:





je vindt oplossing (x2, y2) dus door (x1, y1) in bovenstaande formules in te vullen: de index i is het rangnummer van de huidige oplossing (i+1) is het rangnummer van de volgende oplossing.
Dus (x3, y3) vind je door (x2, y2) in te vullen:





Zo ga je verder voor alle oplossingen (x4, y4) vind je via (x3, y3),
(x5, y5) via (x4, y4) etc.

Als je kijkt naar de oplossingen geldt voor:
(x1, y1) = (3, 1): n = (x1-1)/2 = 1, driehoeksgetal (1/2)*n*(n+1) = 1 en dit is (y1)^2 = 1^2
(x2, y2) = (17, 6): n = (x2-1)/2 = 8, driehoeksgetal (1/2)*n*(n+1) = 36 en dit is (y2)^2 = 6^2
(x3, y3) = (99, 35): n = (x3-1)/2 = 49, driehoeksgetal (1/2)*n*(n+1) = 1225 en dit is (y3)^2 = 35^2
etc.

Als je dit zo zelf doorrekent zal je zien dat de oplossingen al snel zeer grote getallen gaan worden.

[dennislaagveld]

Ahh bedankt, ik heb het nu helemaal =]