ladder, kist en muur.

Integraalrekening, afgeleiden, rijen, convergentie & divergentie van reeksen, meervoudige integratie.
Plaats reactie
meeusen
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 2
Lid geworden op: 21 jul 2006, 06:31

ladder, kist en muur.

Bericht door meeusen » 21 jul 2006, 06:56

Kan iemand de onderstaande vergelijking oplossen?
Het komt van het volgende vraagstuk:
Als een kist (1 bij 1 meter) tegen een muur staat. (netjes keurige kubus, en de muur netjes loodrecht op een vlakke vloer, en een 10 meter lange (rechte) ladder staat tegen de kist en de muur. Hoever staat de ladder dan van de kist?

Met een beetje geometrie (gelijkvormige driehoeken) en Pythagoras krijg ik de volgende formule;

(x+1)^2 + (1/x+1)^2 = 100

Maar dan? Haakjes wegwerken geeft een vierdegraads vergelijking.
Dan kan je dan met uitproberen, invullen en insluiten, een oplossing benaderen.
Maar volgens de opgave kun je het antwoord exact geven.

Dank aan het wiskunde brein dat mij de waarde van X kan geven :roll:

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Bericht door SafeX » 21 jul 2006, 15:11

Stel (x+1)²=y, met y>=0.
Succes!

meeusen
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 2
Lid geworden op: 21 jul 2006, 06:31

Bericht door meeusen » 21 jul 2006, 22:40

ok, met y+1/y=100
en y=(x+1)^2 krijg ik een x die past: x=8,9

maar ik begrijp die 1/y niet, dat is toch niet hetzelfde als (1/x+1)^2
tenminste ik krijg het niet rond.

Nog een klein duwtje alsjeblieft...

Sjoerd Job
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1144
Lid geworden op: 21 jan 2006, 15:09
Locatie: Krimpen aan den IJssel

Bericht door Sjoerd Job » 22 jul 2006, 19:06

meeusen schreef:ok, met y+1/y=100
en y=(x+1)^2 krijg ik een x die past: x=8,9

maar ik begrijp die 1/y niet, dat is toch niet hetzelfde als (1/x+1)^2
tenminste ik krijg het niet rond.

Nog een klein duwtje alsjeblieft...
Als er staat:
mag 1/y wel. Bij daarentegen niet...

Nu...


Haakjes wegwerken

Vereenvoudigen

de delingen naar de andere kant brengen

Beide kanten keer x^2.

xjes allemaal naar de linkerkant

Toepassen van het volgende:
http://mathworld.wolfram.com/QuarticEquation.html
Of invullen in een calculator hiervoor.
Ik krijg 4 waarden, twee negatief (oftewel, klinkt als onzin), en 2 positief.
Van de positieve waarden is eentje kleiner dan 1, dus onzin, en 1 groter dan 1, dus een waarde die in de praktijk zou kunnen.
8.943625431018287

Maar, wat als het toch was? Nu, de y = (x+1)^2 is een makkelijke subsitutie




Som-Product is lastig, dus ABC...
Kom op 0.01001 en 99.99 Het is duidelijk dat beide onlogisch zijn. (in het zelfde gebied als de kist, OF 99m van de muur (knap, voor een ladder van 10m ;)

Dus, kom ik op een waarde van 8.94m

EDIT: Met 1 fout. Ik had moeten realizeren dat dat de oplossing voor y is.

y = (x+1)^2...
Dus, de wortel uit 99.99 is net iets minder dan 10. Dus, kom ik op net iets minder dan 9 als antw. Namelijk 8.999. Dit is zeer onrealistisch, naar mijn mening... Denk maar na. De afstand van dat punt tot het topje van de kist is dan: wortel(7.999^2 + 1^2) = wortel(65) = net iets meer dan 8. Maar dat zou betekenen dat van het puntje van de kist tot de muur, het restant moet zijn... en dat lijkt mij ook nog onlogisch...

Dus, om eerlijk te zijn, ik twijfel aan beide antwoorden...
``Life is complex. It has real and imaginary parts.''

Anoniem

Bericht door Anoniem » 23 jul 2006, 12:15

De berekening die sjoerd als eerste plaats is goed.

Y = afstand tussen kist en ladder op de grond
X = afstand tussen kist en ladder tegen de muur

Dus (x+1)² + (y+1)² = 100

Daarnaast zijn er driehoeken die gelijke hoeken hebben!
Y/1 = 1/X ! => y = (1/x)

Deze invullen in de eerste formule geeft de volgende formule
(x+1)² + ((1/x)+1)² = 100.

De rest heeft Sjoerd al uitgewerkt.

X ≈ 8,94 en Y ≈ 0,09

Maar ook X ≈ 0,09 en Y ≈ 8,94 is een oplossing.

Teken anders één situatie en draai vervolgens de tekening waardoor de muur de grond wordt en de grond de muur! Dit geldt alleen als de doos a bij a is!


Anoniem

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: ladder, kist en muur.

Bericht door SafeX » 24 jul 2006, 16:10

meeusen schreef: Met een beetje geometrie (gelijkvormige driehoeken) en Pythagoras krijg ik de volgende formule;

(x+1)^2 + (1/x+1)^2 = 100
Bovenstaande formule is correct!
Dit heb ik helaas niet eerst nagegaan en abusievelijk ben ik uitgegaan van (1/(x+1))².

De uitwerking:

x²+2x+1+1/x²+2/x+1=100
x²+2+1/x²+2(x+1/x)+1=100+1, ga dit zorgvuldig na!
(x+1/x)²+2(x+1/x)+1=101, en dit ook, bv door uitwerken.
Stel even x+1/x=p

p²+2p+1=101
(p+1)²=101
p=-1+sqrt(101) de andere opl voldoet niet! Waarom niet?

Nu x oplossen uitgedrukt in p.

x²-px+1=0

x²-2*p/2*x+(p/2)²=-1+(p/2)²
(x-p/2)²=-1+(p/2)²
x=p/2+sqrt(-1+(p/2)²) en x=p/2-sqrt(-1+(p/2)²)

p invullen.
Beide (exacte) opl voldoen. Wat stellen ze voor?

dummietoo
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 17
Lid geworden op: 11 jan 2007, 00:40

Bericht door dummietoo » 11 jan 2007, 01:35

"...ladder staat tegen de kist...
Hoever staat de ladder dan van de kist? "


Het zal wel aan mij liggen dat ik het niet snap :shock:

Gebruikersavatar
luijs
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 347
Lid geworden op: 18 aug 2006, 09:45
Locatie: Tilburg

Bericht door luijs » 11 jan 2007, 19:39

Bovenkant staat tegen de kist, hoever staat de onderkant van de ladder er van af... :roll:
Ik ben het er niet mee eens!!
Of wel..?

dummietoo
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 17
Lid geworden op: 11 jan 2007, 00:40

Bericht door dummietoo » 12 jan 2007, 15:26

Aaah juist LOL.
Dat lateraal denken is nooit mijn sterkste punt geweest :D

Plaats reactie