ladder, kist en muur.
ladder, kist en muur.
Kan iemand de onderstaande vergelijking oplossen?
Het komt van het volgende vraagstuk:
Als een kist (1 bij 1 meter) tegen een muur staat. (netjes keurige kubus, en de muur netjes loodrecht op een vlakke vloer, en een 10 meter lange (rechte) ladder staat tegen de kist en de muur. Hoever staat de ladder dan van de kist?
Met een beetje geometrie (gelijkvormige driehoeken) en Pythagoras krijg ik de volgende formule;
(x+1)^2 + (1/x+1)^2 = 100
Maar dan? Haakjes wegwerken geeft een vierdegraads vergelijking.
Dan kan je dan met uitproberen, invullen en insluiten, een oplossing benaderen.
Maar volgens de opgave kun je het antwoord exact geven.
Dank aan het wiskunde brein dat mij de waarde van X kan geven
Het komt van het volgende vraagstuk:
Als een kist (1 bij 1 meter) tegen een muur staat. (netjes keurige kubus, en de muur netjes loodrecht op een vlakke vloer, en een 10 meter lange (rechte) ladder staat tegen de kist en de muur. Hoever staat de ladder dan van de kist?
Met een beetje geometrie (gelijkvormige driehoeken) en Pythagoras krijg ik de volgende formule;
(x+1)^2 + (1/x+1)^2 = 100
Maar dan? Haakjes wegwerken geeft een vierdegraads vergelijking.
Dan kan je dan met uitproberen, invullen en insluiten, een oplossing benaderen.
Maar volgens de opgave kun je het antwoord exact geven.
Dank aan het wiskunde brein dat mij de waarde van X kan geven
-
- Vergevorderde
- Berichten: 1144
- Lid geworden op: 21 jan 2006, 15:09
- Locatie: Krimpen aan den IJssel
Als er staat:meeusen schreef:ok, met y+1/y=100
en y=(x+1)^2 krijg ik een x die past: x=8,9
maar ik begrijp die 1/y niet, dat is toch niet hetzelfde als (1/x+1)^2
tenminste ik krijg het niet rond.
Nog een klein duwtje alsjeblieft...
mag 1/y wel. Bij daarentegen niet...
Nu...
Haakjes wegwerken
Vereenvoudigen
de delingen naar de andere kant brengen
Beide kanten keer x^2.
xjes allemaal naar de linkerkant
Toepassen van het volgende:
http://mathworld.wolfram.com/QuarticEquation.html
Of invullen in een calculator hiervoor.
Ik krijg 4 waarden, twee negatief (oftewel, klinkt als onzin), en 2 positief.
Van de positieve waarden is eentje kleiner dan 1, dus onzin, en 1 groter dan 1, dus een waarde die in de praktijk zou kunnen.
8.943625431018287
Maar, wat als het toch was? Nu, de y = (x+1)^2 is een makkelijke subsitutie
Som-Product is lastig, dus ABC...
Kom op 0.01001 en 99.99 Het is duidelijk dat beide onlogisch zijn. (in het zelfde gebied als de kist, OF 99m van de muur (knap, voor een ladder van 10m
Dus, kom ik op een waarde van 8.94m
EDIT: Met 1 fout. Ik had moeten realizeren dat dat de oplossing voor y is.
y = (x+1)^2...
Dus, de wortel uit 99.99 is net iets minder dan 10. Dus, kom ik op net iets minder dan 9 als antw. Namelijk 8.999. Dit is zeer onrealistisch, naar mijn mening... Denk maar na. De afstand van dat punt tot het topje van de kist is dan: wortel(7.999^2 + 1^2) = wortel(65) = net iets meer dan 8. Maar dat zou betekenen dat van het puntje van de kist tot de muur, het restant moet zijn... en dat lijkt mij ook nog onlogisch...
Dus, om eerlijk te zijn, ik twijfel aan beide antwoorden...
``Life is complex. It has real and imaginary parts.''
De berekening die sjoerd als eerste plaats is goed.
Y = afstand tussen kist en ladder op de grond
X = afstand tussen kist en ladder tegen de muur
Dus (x+1)² + (y+1)² = 100
Daarnaast zijn er driehoeken die gelijke hoeken hebben!
Y/1 = 1/X ! => y = (1/x)
Deze invullen in de eerste formule geeft de volgende formule
(x+1)² + ((1/x)+1)² = 100.
De rest heeft Sjoerd al uitgewerkt.
X ≈ 8,94 en Y ≈ 0,09
Maar ook X ≈ 0,09 en Y ≈ 8,94 is een oplossing.
Teken anders één situatie en draai vervolgens de tekening waardoor de muur de grond wordt en de grond de muur! Dit geldt alleen als de doos a bij a is!
Anoniem
Y = afstand tussen kist en ladder op de grond
X = afstand tussen kist en ladder tegen de muur
Dus (x+1)² + (y+1)² = 100
Daarnaast zijn er driehoeken die gelijke hoeken hebben!
Y/1 = 1/X ! => y = (1/x)
Deze invullen in de eerste formule geeft de volgende formule
(x+1)² + ((1/x)+1)² = 100.
De rest heeft Sjoerd al uitgewerkt.
X ≈ 8,94 en Y ≈ 0,09
Maar ook X ≈ 0,09 en Y ≈ 8,94 is een oplossing.
Teken anders één situatie en draai vervolgens de tekening waardoor de muur de grond wordt en de grond de muur! Dit geldt alleen als de doos a bij a is!
Anoniem
Re: ladder, kist en muur.
Bovenstaande formule is correct!meeusen schreef: Met een beetje geometrie (gelijkvormige driehoeken) en Pythagoras krijg ik de volgende formule;
(x+1)^2 + (1/x+1)^2 = 100
Dit heb ik helaas niet eerst nagegaan en abusievelijk ben ik uitgegaan van (1/(x+1))².
De uitwerking:
x²+2x+1+1/x²+2/x+1=100
x²+2+1/x²+2(x+1/x)+1=100+1, ga dit zorgvuldig na!
(x+1/x)²+2(x+1/x)+1=101, en dit ook, bv door uitwerken.
Stel even x+1/x=p
p²+2p+1=101
(p+1)²=101
p=-1+sqrt(101) de andere opl voldoet niet! Waarom niet?
Nu x oplossen uitgedrukt in p.
x²-px+1=0
x²-2*p/2*x+(p/2)²=-1+(p/2)²
(x-p/2)²=-1+(p/2)²
x=p/2+sqrt(-1+(p/2)²) en x=p/2-sqrt(-1+(p/2)²)
p invullen.
Beide (exacte) opl voldoen. Wat stellen ze voor?