Analyse voor beginners

Integraalrekening, afgeleiden, rijen, convergentie & divergentie van reeksen, meervoudige integratie.
Plaats reactie
ignaceii
Vast lid
Vast lid
Berichten: 27
Lid geworden op: 20 jul 2012, 22:24

Analyse voor beginners

Bericht door ignaceii » 21 jul 2012, 09:30

Hallo,

Ik vroeg me af of er iemand ervaring heeft met het handboek: A. Van Rooij. Analyse voor beginners.
Al op middelbare leeftijd wou ik wiskunde voorbereiden op eventuele parttime studie bij ons in België.

De eerste hoofdstukken over limieten en rijen in Van Rooij zijn niet altijd even duidelijk. Vandaar dit bericht.


voorbeeld: Ik ga dit stukje niet overtikken. Maar voor de kenners van het boek: pag. 28, vanaf x(n+1)= (3+2x(n))/(2+x(n)) We willen laten zien... is me helemaal niet duidelijk.
Met name de voll. inductie. Er worden vreemde stappen genomen in de redenering.

Misschien kan iemand wat licht laten schijnen hierop.

ignaceii
Vast lid
Vast lid
Berichten: 27
Lid geworden op: 20 jul 2012, 22:24

Re: Analyse voor beginners

Bericht door ignaceii » 21 jul 2012, 09:54

Hier dan toch even het probleem.
Hij gaat verder: x(n) wil zeggen x index n.

sqrt(3) - x(n+1) = sqrt(3) - (3+2*x(n))/(2+ x(n)) = (2*sqrt(3) + sqrt(3)*x(n) - 3 - 2*x(n))/(2 + x(n)) =

((2 - sqrt(3))*(sqrt(3) - x(n)))/(2 + x(n). Hieruit volgt (voll ind) voor alle n : sqrt(3) - x(n) > 0, dus
0 < sqrt(3) - x(n+1) < ((2- sqrt(3))/(2 + 0) * (sqrt(3) - x(n)) < 1/2(sqrt(3) - x(n)). Dit begrijp ik niet. Vanwaar de 0 in de deler terwijl x(n) in de teller sqrt(3)-x(n) blijft staan.

Vervolgens dienen we na te gaan dat 0 < sqrt(3) - x(n) < 2**-n (2$$-n is 2 macht - n).

Dit lukt me niet, want ik volg de inductie helemaal niet.

Oef 3.B is dan ook een probleem.


Wat vindt iemand van dit boek. Ik start alvast met verwarde ervaringen, maar heb ook Kortram als vervolg en zou dus wel willen verdergaan. Maar de eerste delen over limieten en rijen is uitgebreid, en "moeilijk" te volgen.

Ook oef 3.H is een probleem.

Groeten uit België

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14224
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Analyse voor beginners

Bericht door SafeX » 21 jul 2012, 10:16

ignaceii schreef:Hier dan toch even het probleem.
Hij gaat verder: x(n) wil zeggen x index n.

sqrt(3) - x(n+1) = sqrt(3) - (3+2*x(n))/(2+ x(n)) = (2*sqrt(3) + sqrt(3)*x(n) - 3 - 2*x(n))/(2 + x(n)) =
((2 - sqrt(3))*(sqrt(3) - x(n)))/(2 + x(n). Hieruit volgt (voll ind) voor alle n : sqrt(3) - x(n) > 0, dus
0 < sqrt(3) - x(n+1) < ((2- sqrt(3))/(2 + 0) * (sqrt(3) - x(n)) < 1/2(sqrt(3) - x(n)). Dit begrijp ik niet. Vanwaar de 0 in de deler terwijl x(n) in de teller sqrt(3)-x(n) blijft staan.

Vervolgens dienen we na te gaan dat 0 < sqrt(3) - x(n) < 2**-n (2$$-n is 2 macht - n).

Dit lukt me niet, want ik volg de inductie helemaal niet.
Staat er:



Kan je de volledige opgave geven ...

Gebruikersavatar
op=op
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1096
Lid geworden op: 23 apr 2010, 18:11

Re: Analyse voor beginners

Bericht door op=op » 21 jul 2012, 10:19

Leer een klein beetje tex (dat hebben wij ook allemaal gedaan). Gewoon op de Quote knop drukken en kijken hoe anderen het doen.

Over die 0 in de noemer.
Je wilt met vergelijken.
Je hebt de uitdrukking


Als we de noemer wegdenken dan staat links en rechts iets lineairs, en dat willen we graag.
Nu is , en dus is
De lastige breuk met erin kunnen we weg krijgen door te schrijven:

Gebruikersavatar
op=op
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1096
Lid geworden op: 23 apr 2010, 18:11

Re: Analyse voor beginners

Bericht door op=op » 21 jul 2012, 10:23

ignaceii schreef: Wat vindt iemand van dit boek. Ik start alvast met verwarde ervaringen, maar heb ook Kortram als vervolg en zou dus wel willen verdergaan. Maar de eerste delen over limieten en rijen is uitgebreid, en "moeilijk" te volgen.
Een zéér goed boek. Zeer degelijk, maar daardoor niet altijd zo makkelijk.
Je wordt ook geen sterke tennisser door tegen alleen zwakke tegenstanders te spelen.
Dit boek is een sterke tegenstander.

ignaceii
Vast lid
Vast lid
Berichten: 27
Lid geworden op: 20 jul 2012, 22:24

Re: Analyse voor beginners

Bericht door ignaceii » 21 jul 2012, 10:29

Snap ik wel.
Maar hoe ga je dan door volledige inductie naar wat er staat, dat sqrt(3) - x(n) < 2 macht -n.

Gebruikersavatar
op=op
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1096
Lid geworden op: 23 apr 2010, 18:11

Re: Analyse voor beginners

Bericht door op=op » 21 jul 2012, 11:04

Je hebt gevonden
(**)

Je wilt bewijzen
(*)
Klopt (*) voor n=1?

En als (*) klopt voor n=k, hebben we dan iets aan (**) om (*) aan te tonen voor k+1?

ignaceii
Vast lid
Vast lid
Berichten: 27
Lid geworden op: 20 jul 2012, 22:24

Re: Analyse voor beginners

Bericht door ignaceii » 21 jul 2012, 11:28

Dat is de vraag die ik mij ook stel. Tot zover ben ik ook.
Volledige inductie wordt steeds aangetoond via rijen, waarbij de rijformule ook geldt voor k+1, indien geldig voor k.

Nu zit ik met een te bewijzen ongelijkheid. Dat is wat anders.
Ik ga kijken via (2 exp k+1) (ja sorry, ik ken nog geen tex hé) via 2 exp k * (2).

Pedagogisch vind ik dit wel zwak gesteld in een introductie.

ignaceii
Vast lid
Vast lid
Berichten: 27
Lid geworden op: 20 jul 2012, 22:24

Re: Analyse voor beginners

Bericht door ignaceii » 21 jul 2012, 11:30

Kan dus zijn dat het boek als "analyse" refresher iets te uitdagend is.
Ok, dank op=op.

Maar ik vind weinig alternatieven in het nederlands. Almering heb ik ook bekeken. Daar zouden ook oplossingen bij zijn.
Ik heb alvast geleerd dat het gedeelte over limieten heel belangrijk is. Daar draait alles om.
Bij sommige nederlandse universiteiten (Amsterdam dacht ik ondermeer) staat hij op de literatuurlijst voor het vak analyse, naast engelstalige.

Analyse doen in zelfstudie is toch moeilijk. En van Rooij gaat toch verder dan vele 1ste jaars cursussen bij ons nu lijkt mij.
Lang geleden in 1980, was het andersom. Toen kregen we al metrische ruimten op ons bord na 2 maanden (1ste kandidatuur wiskunde).

Misschien doorlezen met wat oefeningen, en plaatsen waar ik vast zit, zo laten ?
Men kan moeilijk alle pijnpunten posten op het forum.

ignaceii
Vast lid
Vast lid
Berichten: 27
Lid geworden op: 20 jul 2012, 22:24

Re: Analyse voor beginners

Bericht door ignaceii » 21 jul 2012, 11:35

Sorry ik bedoel 2 exp -k.

ignaceii
Vast lid
Vast lid
Berichten: 27
Lid geworden op: 20 jul 2012, 22:24

Re: Analyse voor beginners

Bericht door ignaceii » 19 jun 2017, 11:11



als dan :



zodat

wat moest worden aangetoond.

Tex ziet er goed uit, al zeg ik het zelf.


Laatst omhoog gehaald door ignaceii op 19 jun 2017, 11:11.

Plaats reactie