Pagina 1 van 1

Analyse voor beginners

Geplaatst: 21 jul 2012, 09:30
door ignaceii
Hallo,

Ik vroeg me af of er iemand ervaring heeft met het handboek: A. Van Rooij. Analyse voor beginners.
Al op middelbare leeftijd wou ik wiskunde voorbereiden op eventuele parttime studie bij ons in België.

De eerste hoofdstukken over limieten en rijen in Van Rooij zijn niet altijd even duidelijk. Vandaar dit bericht.


voorbeeld: Ik ga dit stukje niet overtikken. Maar voor de kenners van het boek: pag. 28, vanaf x(n+1)= (3+2x(n))/(2+x(n)) We willen laten zien... is me helemaal niet duidelijk.
Met name de voll. inductie. Er worden vreemde stappen genomen in de redenering.

Misschien kan iemand wat licht laten schijnen hierop.

Re: Analyse voor beginners

Geplaatst: 21 jul 2012, 09:54
door ignaceii
Hier dan toch even het probleem.
Hij gaat verder: x(n) wil zeggen x index n.

sqrt(3) - x(n+1) = sqrt(3) - (3+2*x(n))/(2+ x(n)) = (2*sqrt(3) + sqrt(3)*x(n) - 3 - 2*x(n))/(2 + x(n)) =

((2 - sqrt(3))*(sqrt(3) - x(n)))/(2 + x(n). Hieruit volgt (voll ind) voor alle n : sqrt(3) - x(n) > 0, dus
0 < sqrt(3) - x(n+1) < ((2- sqrt(3))/(2 + 0) * (sqrt(3) - x(n)) < 1/2(sqrt(3) - x(n)). Dit begrijp ik niet. Vanwaar de 0 in de deler terwijl x(n) in de teller sqrt(3)-x(n) blijft staan.

Vervolgens dienen we na te gaan dat 0 < sqrt(3) - x(n) < 2**-n (2$$-n is 2 macht - n).

Dit lukt me niet, want ik volg de inductie helemaal niet.

Oef 3.B is dan ook een probleem.


Wat vindt iemand van dit boek. Ik start alvast met verwarde ervaringen, maar heb ook Kortram als vervolg en zou dus wel willen verdergaan. Maar de eerste delen over limieten en rijen is uitgebreid, en "moeilijk" te volgen.

Ook oef 3.H is een probleem.

Groeten uit België

Re: Analyse voor beginners

Geplaatst: 21 jul 2012, 10:16
door SafeX
ignaceii schreef:Hier dan toch even het probleem.
Hij gaat verder: x(n) wil zeggen x index n.

sqrt(3) - x(n+1) = sqrt(3) - (3+2*x(n))/(2+ x(n)) = (2*sqrt(3) + sqrt(3)*x(n) - 3 - 2*x(n))/(2 + x(n)) =
((2 - sqrt(3))*(sqrt(3) - x(n)))/(2 + x(n). Hieruit volgt (voll ind) voor alle n : sqrt(3) - x(n) > 0, dus
0 < sqrt(3) - x(n+1) < ((2- sqrt(3))/(2 + 0) * (sqrt(3) - x(n)) < 1/2(sqrt(3) - x(n)). Dit begrijp ik niet. Vanwaar de 0 in de deler terwijl x(n) in de teller sqrt(3)-x(n) blijft staan.

Vervolgens dienen we na te gaan dat 0 < sqrt(3) - x(n) < 2**-n (2$$-n is 2 macht - n).

Dit lukt me niet, want ik volg de inductie helemaal niet.
Staat er:



Kan je de volledige opgave geven ...

Re: Analyse voor beginners

Geplaatst: 21 jul 2012, 10:19
door op=op
Leer een klein beetje tex (dat hebben wij ook allemaal gedaan). Gewoon op de Quote knop drukken en kijken hoe anderen het doen.

Over die 0 in de noemer.
Je wilt met vergelijken.
Je hebt de uitdrukking


Als we de noemer wegdenken dan staat links en rechts iets lineairs, en dat willen we graag.
Nu is , en dus is
De lastige breuk met erin kunnen we weg krijgen door te schrijven:

Re: Analyse voor beginners

Geplaatst: 21 jul 2012, 10:23
door op=op
ignaceii schreef: Wat vindt iemand van dit boek. Ik start alvast met verwarde ervaringen, maar heb ook Kortram als vervolg en zou dus wel willen verdergaan. Maar de eerste delen over limieten en rijen is uitgebreid, en "moeilijk" te volgen.
Een zéér goed boek. Zeer degelijk, maar daardoor niet altijd zo makkelijk.
Je wordt ook geen sterke tennisser door tegen alleen zwakke tegenstanders te spelen.
Dit boek is een sterke tegenstander.

Re: Analyse voor beginners

Geplaatst: 21 jul 2012, 10:29
door ignaceii
Snap ik wel.
Maar hoe ga je dan door volledige inductie naar wat er staat, dat sqrt(3) - x(n) < 2 macht -n.

Re: Analyse voor beginners

Geplaatst: 21 jul 2012, 11:04
door op=op
Je hebt gevonden
(**)

Je wilt bewijzen
(*)
Klopt (*) voor n=1?

En als (*) klopt voor n=k, hebben we dan iets aan (**) om (*) aan te tonen voor k+1?

Re: Analyse voor beginners

Geplaatst: 21 jul 2012, 11:28
door ignaceii
Dat is de vraag die ik mij ook stel. Tot zover ben ik ook.
Volledige inductie wordt steeds aangetoond via rijen, waarbij de rijformule ook geldt voor k+1, indien geldig voor k.

Nu zit ik met een te bewijzen ongelijkheid. Dat is wat anders.
Ik ga kijken via (2 exp k+1) (ja sorry, ik ken nog geen tex hé) via 2 exp k * (2).

Pedagogisch vind ik dit wel zwak gesteld in een introductie.

Re: Analyse voor beginners

Geplaatst: 21 jul 2012, 11:30
door ignaceii
Kan dus zijn dat het boek als "analyse" refresher iets te uitdagend is.
Ok, dank op=op.

Maar ik vind weinig alternatieven in het nederlands. Almering heb ik ook bekeken. Daar zouden ook oplossingen bij zijn.
Ik heb alvast geleerd dat het gedeelte over limieten heel belangrijk is. Daar draait alles om.
Bij sommige nederlandse universiteiten (Amsterdam dacht ik ondermeer) staat hij op de literatuurlijst voor het vak analyse, naast engelstalige.

Analyse doen in zelfstudie is toch moeilijk. En van Rooij gaat toch verder dan vele 1ste jaars cursussen bij ons nu lijkt mij.
Lang geleden in 1980, was het andersom. Toen kregen we al metrische ruimten op ons bord na 2 maanden (1ste kandidatuur wiskunde).

Misschien doorlezen met wat oefeningen, en plaatsen waar ik vast zit, zo laten ?
Men kan moeilijk alle pijnpunten posten op het forum.

Re: Analyse voor beginners

Geplaatst: 21 jul 2012, 11:35
door ignaceii
Sorry ik bedoel 2 exp -k.

Re: Analyse voor beginners

Geplaatst: 19 jun 2017, 11:11
door ignaceii


als dan :



zodat

wat moest worden aangetoond.

Tex ziet er goed uit, al zeg ik het zelf.